Самостійна робота № 3 (11 годин)
Тема: Повторні події.. Випадкові величини. Дискретні випадкові величини та закон розподілу випадкової величини. Числові характеристики дискретної випадкової величини. Функція розподілу випадкової величини. Щільність розподілу. Числові характеристики неперервних випадкових величин. Нормальне розподілення, його числові характеристики.
Мета: придбати навички розв’язування задач з обчислень числових характеристик дискретних випадкових величин. Навчитися знаходити щільність розподілу та числові характеристики нормального розподілення.
1 Теоретичні відомості
1.1 Означення. Випадковою називається величина, яка в результаті випробування приймає з деякою ймовірністю те чи інше значення, що залежить від результату випробування.
Випадкові величини позначаються великими латинськими літерами: Х,У, Z, і т.д., а їх значення прописними літерами: х, у, z, і т.д.
Означення. Випадкова величина називається дискретною, якщо множина її значень скінчена, тобто множина значень утворює скінчену послідовність х1,х2,х3 …, хn.
Означення. Відповідність між можливими значеннями х1,х2,х3 …, хn випадкової величини Х і їх ймовірностями р1,р2,р3 …, рn називається законом розподілення випадкової величини Х.
х |
х1 |
х2 |
… |
хі |
… |
хn |
р |
р1 |
р2 |
… |
рі |
… |
рn |
де р1 + р2 + … + рn = 1
Означення. Закон розподілення випадкової величини Х має вид.
хі |
0 |
1 |
2 |
… |
m |
… |
n |
рі |
|
|
|
… |
|
… |
|
і називається біномінальним законом розподілення.
1.2 Числові характеристики дискретних випадкових величин.
Числа, які описують випадкову величину сумарно, такі числа називають числовими характеристиками випадкових величин.
Такими характеристиками є : математичне сподівання або очікування, дисперсія, середнє квадратичне відхилення.
Числові характеристики:
Математичне сподівання вказує на середнє значення випадкової величини
М(х)=
,
1.2.1
Дисперсія:
,
1.2.2
1.3 Означення. Функцією розподілу випадкової величини називають функцію F(x), яка визначає для кожного значення х ймовірність того, що випадкова величина Х приймає значення менше за х
F(x)=P(X<x), 1.3.1
Властивості функції розподілу
0<F(x)<1, 1.3.2
F(x2)>F(x1),при х2>х1 1.3.3
якщо х є (а;в)
1.3.4
1.4 Наслідок. Ймовірність того що випадкова величина Х приймае значення з інтервалом (а;b) дорівнює приросту функції розподілу на цьому інтервалі.
P(a<X<b)=F(b)-F(a) 1.4.1
1.5 Означення. Щільністю розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини називають першу похідну від функції розподілу.
f(x)=F'(x) 1.5.1