Самостійна робота № 2 ( 10 годин)

Тема: Класичне означення ймовірності. Теореми додавання і множення ймовірностей. Елементи комбінаторики. Незалежні події. Формула повної ймовірності та формула Байєса. Формула Бернулі. Локальна та інтегральна теореми Лапласа.

Мета: Придбати навички розвязування задач.

1 Теоретичне обгрунтування

1.1 Елементи комбінаторики

Перестановки. Всякий встановлений в скінченій множині порядок називається перестановкою його елементів.

Позначають: Р = n!

n! = n·(n - 1)·(n - 2) …

Розміщення. Множина, в якій задано порядок розміщення її елементів називається упорядкованою.

Нехай дано скінчену множину, яка складається з n елементів. Усяка її упорядкована m – елементна підмножина називається розміщенням з n елементів по m.

Комбінації або сполучення. Нехай дано скінчену множину, яка складається з n елементів. Усяка її m – елементна підмножина називається сполученням з n елементів по m.

1.2 Елементи теорії імовірності. Означення: Випадковою подією називається подія, яка може відбутися, або не відбутися під час здійснення певного випробування.

1.3 Означення: Вірогідною називається подія, яка в наслідок даного випробування обовязково має відбутися. А не можливою називається така подія, яка внаслідок даного випробування не може відбутися.

1.4 Класичне означення ймовірності.

Ймовірністю випадкової події називається відношення кількості подій які сприяють цій події, до кількості всіх рівноможливих несумісних подій, які утворюють повну групу подій під час певного випробування.

1.5 Теорема додавання

Означення. Сумою двох подій називається подія С, яка полягає у здійсненні під час випробування, або подія А, або події В.

Теорема. Сума двох несумісних подій.

Сума двох сумісних подій

1.6 Теорема множення ймовірностей

Означення. Добутком двох подій А і В називається подія С, що полягає у здійсненні під час одиничного випробування і події А і події В.

Теорема: Добуток двох незалежних подій

1.7 Формула Бернуллі

Означення. Випробування при яких ймовірність появи події А в кожному випробуванні не залежить від наслідків інших випробувань, називаються незалежними відносно події А.

Формула Бернуллі: ,

q = 1-p

1.8 Формула повної ймовірності.

де гіпотези Н₁, Н₂, … , Н_n утворюють повну групу подій.

1.9 Формула Байєса

Якщо подія А вже відбулася то ймовірність гіпотез можуть бути переоцінені за формулою Байєса.

1.10 Локальна теорема Лапласа.

Ймовірність того, що подія А з’явиться в n незалежних іспитах рівно k раз, приблизно дорівнює.

,

- дивись додаток №1

1.11 Інтегральна теорема Лапласа

Ймовірність того, що подія А з’явиться в n незалежних іспитах

від k₁ до k_2, виражається за формулою:

,

де

Ф(х) – дивись додаток №2

Ф(-х) = -Ф(х)

Для х › 5 можна прийняти Ф (х) = 0,5

2 Розв’язування типових прикладів

2.1 3 корзини , в яких є 5 білих і 3 чорних кулі, виймають одну кулю. Знайти ймовірність того, що куля буде чорною.

Розв’язання

Позначимо подію, що з корзини буде вийнято чорну кулю, через А. Загальне число випадків n = 5+3=8

Число випадків, які сприяють події А, дорівнює 3.

Тоді маємо:

або 37,5 %.

2.2 Слово «ймовірність» складено із букв розрізної азбуки. Потім картки з буквами перемішують, і відкладають по черзі 8 карток. Яка ймовірність того, що ці 8 карток в порядку витягування утворять слово «вірність».

Розв’язання

Знайдемо загальну кількість рівно можливих подій.

Множина карток складається із дев’яти букв розрізної азбуки, а підмножина із 8 карток є упорядкованою (в слові «вірність» враховується порядок), то даний порядок є розміщення.

Маємо

А число елементарних подій , які сприяють появі слова «вірність» m, дорівнює 1, m=1.

Маємо

,