Пример 2.3.4. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Предполагая, что х  0, приведем данное дифференциальное уравнение к виду . Это уравнение Бернулли с п = 1/2. Разделив обе его части на в предположении, что , получим: . Сделаем замену переменной , тогда и данное уравнение примет вид .

Полученное дифференциальное уравнение первого порядка является линейным относительно . Найдем его решение с помощью замены переменной , значит , тогда или

. (2.3.12)

Выберем функцию таким образом, чтобы выражение в скобках в формуле (2.3.12) равнялось нулю, то есть выполнялось равенство . Это уравнение с разделяющимися переменными, в котором разделив их, получим уравнение с разделенными переменными , откуда или – частное решение.

Подставив найденную функцию в формулу (2.3.12), получим снова дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными , решив которое найдем функцию .

Значит, . Итак, общее решение уравнения Бернулли таково .

Замечание 2.3.4. Напомним, что если по условию задачи не требуется находить особые решения при решении дифференциального уравнения, то можно это не делать.

Однако хотелось бы отметить, что дифференциальное уравнение, решенное в примере 2.3.4, имеет особое решение . Т.к. при подстановке решения в исходное дифференциальное уравнение оно обращает его в тождество, и ни при каком значении постоянной С это решение не может быть получено из общего решения в предположении, что х  0.

2.4. Тестовые контрольные вопросы к разделу 2

1. Дифференциальным уравнением первого порядка называется

а)	уравнение, которое имеет вид .
б)	уравнение, которое имеет вид .
с)	уравнение, которое имеет вид .
д)	уравнение, которое имеет вид .

2. Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной имеет вид

а)	.	с)	.
б)	.	д)	.

3. Общее решение дифференциального уравнения первого порядка с геометрическое точки зрения это

а)	совокупность линий, соответствующих одному значению постоянной С.
б)	совокупность линий, соответствующих трем значениям постоянной С.
с)	совокупность линий, соответствующих различным значения постоянной С.
д)	другой ответ.

4. Для дифференциального уравнения первого порядка задача Коши имеет вид

а)	.	с)	.
б)	.	д)	.

5. Какое из приведенных утверждений является неверным?

а)	Особые решения зависят от постоянной С.
б)	Во всех точках особого решения дифференциального уравнения условие единственности Коши не выполняется
с)	Не каждое дифференциальное уравнение имеет особые решения.
д)	Особые решения нельзя получить из общего решения ни при каких значениях постоянной С.

6. Какое из приведенных уравнений является дифференциальным уравнением с разделенными переменными?

а)	.	с)	.
б)	.	д)	.

7. Какое из приведенных уравнений является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными?

а)	.	с)	.
б)	.	д)	.

8. Какое из приведенных уравнений является линейным дифференциальным уравнением первого порядка?

а)	.	с)	.
б)	.	д)	.

9. Какое из приведенных уравнений является уравнением Бернулли?

а)	.	с)	.
б)	.	д)	.

10. Какое из приведенных уравнений является однородным дифференциальным уравнением первого порядка?

а)	.	с)	.
б)	.	д)	.