2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого

порядка и уравнения Бернулли

!

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое содержит неизвестную функцию у и ее производную у' в первой степени, и, которое можно привести к виду . (2.3.1) Предполагается, что функции и являются непрерывными на промежутке, где ищется решение уравнения (2.3.1). Если правая часть дифференциального уравнения (2.3.1) – функция – тождественный нуль для всех x, то уравнение принимает вид и называется линейным однородным дифференциальным уравнением и является уравнением с разделяющимися переменными.

Действительно, разделяя переменные, имеем . Интегрирование этого уравнения сводится к вычислению интегралов от обеих частей полученного равенства, т.е. к квадратурам: .

!	Если , то уравнение (2.3.1) называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Решение дифференциального уравнения (2.3.1) будем искать в виде

. (2.3.2)

Продифференцировав равенство (2.3.2), получим

. (2.3.3)

Подставим равенства (2.3.2) и (2.3.3) в заданное уравнение (2.3.1), тогда оно примет вид или

. (2.3.4)

Поскольку функция у представляет собой произведение двух неизвестных функций – это и , то одну из них можно выбрать произвольно, а вторую определить так, чтобы их произведение удовлетворяло уравнению (2.3.1).

Выберем функцию таким образом, чтобы выражение в скобках уравнения (2.3.4) равнялось нулю, то есть выполнялось равенство: . Для этого достаточно, чтобы функция было каким-либо частным решением дифференциального уравнение первого порядка с разделяющимися переменными . Разделяя переменные, получим . Проинтегрировав последнее равенство, получим , откуда, полагая для удобства С = 0 (поскольку нам нужно какое-либо частное решение), имеем .

Подставив найденную функцию в формулу (2.3.4), получим вновь дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: , решив которое найдем . Подстановка найденных функций и в формулу (2.3.2) дает общее решение линейного дифференциального уравнения (2.3.1) в виде

. (2.3.4)

Замечание 2.3.1. В уравнении (2.3.4) за скобки можно выносить функцию и делать аналогичные преобразования.

Замечание 2.3.2. Дифференциальное уравнение первого порядка может быть линейным относительно переменной х, т.е. приведено к виду

. (2.3.5)

При решении уравнения (2.3.5) переменные х и у меняются ролями: у – это независимая переменная (аргумент), а - неизвестная функция.

Замечание 2.3.3. Дифференциальное уравнение является не только дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными и однородным дифференциальным уравнением первого порядка, но также и линейным однородным, поскольку его можно записать в виде .

Пример 2.3.1. Решить дифференциальное уравнение .

Решение. Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Сделаем замену переменных (2.3.2): , значит тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид или

(2.3.6)

Выберем функцию таким образом, чтобы выражение в скобках уравнения (2.3.6) равнялось нулю, то есть выполнялось равенство . Решив полученное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, найдем функцию .

После подстановки найденной функции в уравнение (2.3.6), получим вновь дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: , решив которое, найдем функцию .

И тогда общее решение исходного дифференциального уравнения будет иметь следующий вид .

Особых решений дифференциальное уравнение не имеет, так как для любых значений x.

Решать линейные дифференциальные уравнения можно также методом вариации произвольной постоянной.

!

В соответствии с методом вариации произвольной постоянной вначале следует найти решение соответствующего однородного дифференциального уравнения, затем в предположении, что в полученном решении произвольная постоянная С является неизвестной функцией от переменной х, подставить это решение в неоднородное дифференциальное уравнение и найти неизвестную функцию С(х).

Рассмотрим этот метод на примере.

Пример 2.3.2. Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольной постоянной.

Решение. Данное уравнение является неоднородным линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Найдем вначале решение соответствующего однородного дифференциального уравнения: , которое представляет собой дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Имеем , разделив переменные , а затем проинтегрировав это равенство, получим или . Предположим, что в полученном решении произвольная постоянная С является неизвестной функцией от переменной х, т.е.

. (2.3.7)

Решение (2.3.7) подставим в неоднородное дифференциальное уравнение, для чего вначале найдем производную . В результате получим равенство или после преобразований имеем . Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, разделив которые получим: , откуда имеем .

Поставив полученное решение в формулу (2.3.7), найдем общее решение исходного дифференциального уравнения .

Итак, решение дифференциального уравнения, найденное методом вариации произвольной постоянной, совпадает с решением, полученным с помощью замены переменных.

Пример 2.3.2. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Это уравнение не является линейным относительно переменной у. Однако если рассматривать х как функцию от у, и, учитывая, что , получим линейное дифференциальное уравнение относительно переменной х: . Сделаем замену переменных (2.3.2) , значит тогда это уравнение примет вид или

(2.3.8)

Выберем функцию таким образом, чтобы выражение в скобках уравнения (2.3.8) равнялось нулю, то есть выполнялось равенство . Решив полученное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, найдем функцию .

После подстановки найденной функции в уравнение (2.3.8), получим снова дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: , разделив которые, получим .

После интегрирования полученного равенства, найдем функцию .

Тогда общее решение исходного дифференциального уравнения будет иметь следующий вид: .

!	Дифференциальное уравнение первого порядка вида (2.3.9) где и называется уравнением Бернулли.

Уравнение Бернулли с помощью подстановки

(2.3.10)

сводится к линейному относительно функции дифференциальному уравнению первого порядка.

Действительно, умножив уравнение Бернулли (2.3.9) на , и применив подстановку (2.3.10), при которой , уравнение Бернулли (2.3.9) примет вид

. (2.3.11)

Уравнение (2.3.11) является линейным относительно функции дифференциальным уравнением первого порядка.