2.2. Однородные дифференциальные уравнения первого

порядка

! !	Однородным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое можно привести к виду , (2.2.1) где функция удовлетворяет условию (2.2.2) Отметим, что функция , которая удовлетворяет равенству (2.2.2) называется однородной.

Можно привести еще одно определение.

!	Однородным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое можно привести к виду . (2.2.3)

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка можно привести к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены переменных

, (2.2.4)

где – новая неизвестная функция.

Действительно, если , значит . Подставляя эти формулы в уравнение (2.2.1), получим или . Полученное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, разделив которые имеем или

. (2.2.5)

После интегрирования формулы (2.2.5) следует вернуться к старой переменной по формуле , в результате чего получим общий интеграл данного дифференциального уравнения.

Замечание 2.2.1. Формула (2.2.5) не охватывает тех решений, для которых при каком-либо значении выполняется равенство = 0, т.е. .

Пример 2.2.1. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Приведем данное уравнение к виду (2.2.1): .

Это уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка потому, что оно имеет вид (2.2.1) и для правой части уравнения выполняется условие (2.2.2), то есть

.

Сделаем замену переменных (2.2.4): , значит , тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид: . После преобразований, получим или

. (2.2.6)

Уравнение (2.2.6) является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, разделив которые получим , затем, проинтегрировав полученное равенство, находим: , или .

Из формулы (2.2.4) найдем . Подставив вместо переменной , получим общий интеграл дифференциального уравнения или общее решение .

Замечание 2.2.2. Для того чтобы разделить переменные мы делили дифференциальное уравнение (2.2.6) на выражение , предполагая, что , и также на х 0. Пусть , значит . Подставляя это решение в рассматриваемое дифференциальное уравнение примера 2.2.1, можно убедиться, что оно также является его решением, но оно входит в общее решение при С = 0; решение х = 0 решением рассматриваемого дифференциального уравнения не является.

Пример 2.2.2. Найти частное решение дифференциального уравнения , .

Решение. Поскольку данное уравнение может быть приведено к виду , то исходя из (2.2.3), оно является однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Сделаем замену переменных (2.2.4) , значит , тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид: . После преобразований получим или

. (2.2.7)

Уравнение (2.2.7) является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, разделив которые, получим , затем, проинтегрировав полученное равенство, находим (С  0) или

. (2.2.8)

При делении дифференциального уравнения на мы могли потерять решение = 0, т.е. u = 1. Оно получается из формулы (2.2.8), если взять С = 0.

Подставив вместо переменной , получим общий интеграл дифференциального уравнения или общее решение

, где . (2.2.9)

Чтобы найти частное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию , подставим в найденное общее решение дифференциального уравнения (2.2.9) значения переменных , . Получим уравнение , из которого найдем значение произвольной постоянной С = -1/2.

Затем, подставив это значение произвольной постоянной в общее решение (2.2.9), получим частное решение дифференциального уравнения (или решение задачи Коши) в виде .

Замечание 2.2.3. Дифференциальное уравнение , рассмотренное в примере 2.1.2 как дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, является также однородным дифференциальным уравнением первого порядка, поскольку приведено к виду 2.2.3.