2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися

переменными

!	Дифференциальное уравнение первого порядка вида (2.1.1) называется уравнением с разделенными переменными.

В уравнении (2.1.1) коэффициентом при дифференциале является функция, которая зависит только от переменной х, или постоянная величина, а коэффициентом при дифференциале – функция, которая зависит только от переменной у, или постоянная величина.

Общее решение уравнения с разделенными переменными находят путем его интегрирования

. (2.1.2)

Поскольку левую часть формулы (2.1.2) можно рассматривать как полный дифференциал некоторой функции , то есть , тогда уравнение (2.1.2) будет иметь вид: , а значит, функция является постоянной величиной.

Интегрируя последнее равенство и, используя свойство неопределенного

интеграла , получим (2.1.2), что и следовало доказать.

Пример 2.1.1. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. В заданном уравнении при дифференциалах и записаны функции, которые зависят только от переменной х и переменной у, соответственно.

Поэтому исследуемое уравнение является уравнением с разделенными переменными, и его общее решение следует искать путем почленного интегрирования. В результате чего получим .

Таким образом, общий интеграл данного дифференциального уравнения имеет вид .

!	Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида: , (2.1.3) где , – функции только переменной x, , – функции только переменной у или вида: , (2.1.4) где , – функции только переменной x и только переменной у соответственно.

Общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными (2.1.3) можно найти путем сведения его к уравнению с разделенными переменными, то есть к виду (2.1.1) с последующим интегрированием.

Для того чтобы разделить переменные в дифференциальном уравнении (2.1.3), следует обе его части разделить на произведение , в предположении, что оно не обращается в нуль, т.е.

. (2.1.5)

Тогда уравнение (2.1.3) примет вид а его общий интеграл будет таков:

. (2.1.6)

Особые решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

Разделяя переменные в уравнении (2.1.3), мы полагали, что произведение не равно нулю, т.е. удовлетворяет (2.1.5), однако уравнение (2.1.3) можно записать в виде:

.

Поэтому, кроме найденного ранее общего интеграла (2.1.6), уравнению (2.1.3) могут также удовлетворять решения, получаемые из уравнения

= 0. (2.1.7)

Если полученные решения не входят в общий интеграл (2.1.6), то они будут особыми решениями дифференциального уравнения.

Пример 2.1.2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения , а также частное решение, удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Данное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными.

Учитывая, что , и разделяя переменные в этом уравнении, получим , ( ). Интегрируя полученное равенство , найдем .

Поскольку произвольная постоянная С может принимать любые действительные значения, то можно ввести для нее новое, удобное для нас обозначение , где . Это можно сделать в силу того, что множество значений логарифмической функции есть .

Тогда откуда общее решение рассматриваемого дифференциального уравнения или

, . (2.1.8)

Разделяя переменные, мы предполагали , . Однако решение также является решением исходного дифференциального уравнения, подставив которое в данное уравнение в этом легко убедиться. Тогда объединяя решения (2.1.8) и , получаем общее решение исходного дифференциального уравнения: , где С может принимать любые действительные значения, а .

Решение является частным решением соответствующего перевернутого уравнения, в предположении, что .

Поэтому интегральными кривыми данного дифференциального уравнения является семейство полупрямых, исходящих из начала координат, которое исключается из рассмотрения.

Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям , т.е. задаче Коши, подставим в общее решение (2.1.8) значения переменных . Получим уравнение , откуда С = 6. Затем, подставив это значение произвольной постоянной в общее решение (2.1.8), получим решение данной задачи Коши в виде .

Пример 2.1.3. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Это уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными.

Приведем его к уравнению с разделенными переменными путем деления обеих его частей на выражение при условии, что х  0.

В результате получим равенство , проинтегрировав которое, найдем .

Итак, общий интеграл данного уравнения имеет вид . Если выразить из этого равенства переменную х, получим общее решение дифференциального уравнения (х = х(у), а не у = у(х)) в вид . Поскольку и подстановка решения х = 0 в исходное дифференциальное уравнение обращает его в тождество, то получаем общее решение в виде , где .

Замечание 2.1.1. При изучении обыкновенных дифференциальных уравнений в курсе высшей математики для экономических специальностей, если по условию задачи не требуется нахождение особых решений, то ошибкой не будет, если этот аспект не будет исследован.