1.4. Контрольные задания для самостоятельного решения к разделу 1

1.1. Является ли неявно заданная функция интегралом дифференциального уравнения ?

1.2. Является ли функция решением дифференциального уравнения ?

1.3. Является ли функция решением дифференциального уравнения ?

1.4. Является ли функция решением дифференциального уравнения ?

1.5. Является ли функция решением дифференциального уравнения ?

1.6. Является ли функция интегралом дифференциального уравнения ?

1.7. Найти общее решение дифференциального уравнения .

1.8. Найти общее решение дифференциального уравнения .

1.9. Найти общее решение дифференциального уравнения .

1.10. Найти общее решение дифференциального уравнения .

1.11. Найти общее решение дифференциального уравнения .

1.12. Найти дифференциальное уравнения второго порядка, общее решение которого имеет вид .

1.13. Найти дифференциальное уравнения второго порядка, общее решение которого имеет вид .

1.14. Найти дифференциальное уравнения третьего порядка, общее решение которого имеет вид .

1.15. Найти дифференциальное уравнения третьего порядка, общее решение которого имеет вид .

Дифференциальные уравнения первого порядка

!

Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется такое уравнение, которое содержит независимую переменную, неизвестную функцию этой переменной и ее первую производную (или дифференциал первого порядка) и имеет вид: (2.1) или в виде уравнения, разрешенного относительно производной: . (2.2)

Наряду с дифференциальным уравнением (2.2) вида рассматривают так называемое перевернутое дифференциальным уравнение первого порядка

, (2.3)

используя его в окрестности тех точек, в которых обращается в бесконечность.

Геометрическое содержание дифференциального уравнения первого порядка.

Как известно, производная функции представляет собой угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной к кривой в точке с абсциссой х. Следовательно, уравнение (2.2) каждой точке плоскости Оху задает направление касательной к кривой , которая проходит через точку (х, у). Говорят, что уравнение задает поле направлений.

Рисунок 2.1 – Геометрическая интерпретация дифференциального

уравнения первого порядка

!

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция у, зависящая от аргумента х и одной произвольной постоянной С: , (2.4) которая при подстановке в уравнение (2.1) или (2.2) обращает их в тождества, т.е. (2.5) или . (2.6) Графики решений дифференциальных уравнений (2.2), (2.3) называются интегральными кривыми.

Замечание 2.1. В определении общего решения дифференциального уравнения первого порядка предполагается также, что функция, определяемая формулой (2.3), имеет частную производную по х в некоторой области D изменения переменных х и у, в каждой точке которой решение задачи Коши существует и единственно. Так же предполагается, что в этой области D равенство (2.3) разрешимо относительно произвольной постоянной С, т.е. . При этом тождества (2.5), (2.6) должны выполняться при всех значениях произвольной постоянной и для всех (х, у) из области D.

Геометрически общее решение дифференциального уравнения первого порядка представляет собой семейство интегральных кривых (рис. 2.2), т.е. совокупность линий, соответствующих различным значениям постоянной С.

Рисунок 2.2 – Семейство интегральных кривых

!	Решить дифференциальное уравнение – значит, найти семейство интегральных кривых, соответствующее заданному полю направлений.

Пример 2.1. Найти семейство интегральных кривых дифференциального уравнения .

Решение. Правая часть данного дифференциального уравнения определена для всех х 0. Поскольку , то с помощью непосредственного интегрирования имеем или

. (2.7)

Формула (2.7) геометрически представляет собой совокупность линий, соответствующих различным значениям постоянной С, т.е. семейство интегральных кривых. Однако решение

х = 0 (2.8)

является частным решением перевернутого дифференциального уравнения .

Поэтому семейство интегральных кривых дифференциальных уравнений исходного и перевернутого есть совокупность интегральных кривых (2.7) и прямой (2.8).

Для дифференциального уравнения первого порядка (2.1) задачу Коши можно записать в виде

(2.9)

т.е. задача Коши состоит в том, чтобы найти решение, которое при заданном значении аргумента х = х₀ принимает заданное значение у = у₀.

Геометрическое содержание задачи Коши. Среди семейства интегральных кривых, соответствующего общему решению дифференциального уравнения, выбрать одну кривую, которая проходит через заданную точку (рис. 2.2).

Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Если функция , стоящая в правой части дифференциального уравнения непрерывна в некоторой области D, имеет в этой области D непрерывную частную производную по переменной , то для любой точки существует единственное решение этого дифференциального уравнения, принимающее при значение .

Замечание 2.2. Для существования решения задачи Коши достаточно непрерывности функции .

Замечание 2.3. Для единственности решения задачи Коши не обязательно условие непрерывности частной производной функции по переменной .

!	Особым решением дифференциального уравнения называется такое решение, во всех точках которого нарушается единственность решения задачи Коши.

Геометрически наличие особого решения у дифференциального уравнения в некоторой точке означает, что через эту точку проходит более одной интегральной кривой.

Замечание 2.4. Рассматривая особые решения дифференциального уравнения (2.2) мы не включаем в их число частные решения перевернутого уравнения (2.3).

Особые решения нельзя получить из общего решения ни при каких значениях постоянной С, включая . Если построить семейство интегральных кривых дифференциального уравнения первого порядка, то особое решение будет изображаться линией, которая в каждой своей точке касается, по крайней мере, одной интегральной кривой. Отметим, что не каждое дифференциальное уравнение имеет особые решения.

Пример 2.2. Найти особые решения дифференциального уравнения и дать их геометрическую интерпретацию.

Решение. Правая часть данного дифференциального уравнения определена и непрерывна при . Поскольку , то с помощью непосредственного интегрирования получим общее решение данного дифференциального уравнения

. (2.10)

Решения

х = (2.11)

является частными решениям перевернутого дифференциального уравнения . В свою очередь, эти решения (2.11) являются особыми, поскольку их нельзя получить из общего решения (2.10). Из рис. 2.3 видно, что через каждую точку графика особого решения проходит более одной интегральной кривой.

Рисунок 2.3 – Геометрическая интерпретация особых решений

Существует несколько методов решения дифференциальных уравнений первого порядка. Применение того или иного метода зависит от типа самого уравнения. Рассмотрим эти типы уравнений и методы их решения.