
- •Экономики и торговли
- •Донецк 2007
- •Введение
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •1.1. Общие понятия
- •1.2. Математические модели некоторых экономических
- •1.3. Тестовые контрольные вопросы к разделу 1
- •1.4. Контрольные задания для самостоятельного решения к разделу 1
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися
- •2.2. Однородные дифференциальные уравнения первого
- •2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого
- •Подставим равенства (2.3.2) и (2.3.3) в заданное уравнение (2.3.1), тогда оно примет вид или
- •Пример 2.3.4. Найти общее решение дифференциального уравнения .
- •2.4. Тестовые контрольные вопросы к разделу 2
- •3. Общее решение дифференциального уравнения первого порядка с геометрическое точки зрения это
- •2.5. Контрольные задания для самостоятельного решения к разделу 2
- •Дифференциальные уравнения второго порядка
- •3.1. Дифференциальные уравнения второго порядка,
- •3.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения с
- •3.3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами второго порядка
- •Алгоритм нахождения решения методом Лагранжа
- •3.4. Тестовые контрольные вопросы к разделу 3
- •3. Общее решение дифференциального уравнения второго порядка с геометрическое точки зрения это
- •3.5. Контрольные задания для самостоятельного решения к разделу 3
- •4. Ответы на контрольные задания для самостоятельного решения
- •Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
- •Предметный указатель
- •Литература
- •Содержание
1.2. Математические модели некоторых экономических
ситуаций и процессов
В исследованиях разнообразных жизненных и экономических проблем чаще всего используют дифференциальные уравнения первого и второго порядков.
Пример 1.2.1.
Экономисты установили, что скорость
роста инвестированного капитала в любой
момент времени
пропорциональна величине капитала с
коэффициентом пропорциональности,
равным согласованному проценту
непрерывного роста капитала. Найти
закон роста инвестированного капитала,
считая величину начальной (
= 0) инвестиции К0.
Решение. Вначале
необходимо построить математическую
модель задачи. Пусть К(
)
– величина инвестированного капитала
в момент
(искомая функция), тогда
скорость изменения величины инвестиций,
согласованный процент непрерывного
роста капитала
.
По условию задачи имеем (1.2.1), (1.2.2) :
,
(1.2.1)
.
(1.2.2)
Формулы (1.2.1), (1.2.2) представляют собой задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка.
Общим
решением дифференциального уравнения
(1.2.1) будет функция
.
В соответствии с начальным условием
(1.2.2) при
=
0 имеем
.
Тогда
решением задачи Коши (1.2.1), (1.2.2) будет
функция
.
То
есть при заданных условиях задачи
инвестиции с течением времени растут
по экспоненциальному закону.
Пример 1.2.2. Построить математическую модель задачи “Министр иностранных дел государства Блефуску утверждает, что принятая Лиллипутией программа вооружений вынуждает его страну увеличить военные расходы на сколько это только возможно. С аналогичными заявлениями выступает и министр иностранных дел Лиллипутии”.
Решение. Возникающую в результате ситуацию (в простейшей интерпретации) можно точно описать двумя дифференциальными уравнениями. Пусть x и y – расходы на вооружение Лиллипутии и Блефуску. Предполагая, что Лиллипутия увеличивает свои расходы на вооружение со скоростью, пропорциональной скорости увеличения расходов на вооружение Блефуску, и наоборот, получаем математическую модель в виде системы дифференциальных уравнений (1.2.3);
(1.2.3)
где члены ax и by описывают военные расходы каждой из стран, k и l – положительные постоянные. (Эту задачу впервые таким образом сформулировал в 1939 Л.Ричардсон).
После того, как задача записана на языке дифференциальных уравнений, следует попытаться их решить, т.е. найти величины, скорости изменения которых входят в уравнение. Иногда решения находятся в виде явных формул, но чаще их удается представить лишь в приближенном виде или же получить о них качественную информацию. Часто бывает трудно установить, существует ли решение вообще, не говоря уже о том, чтобы найти его. Важный раздел теории дифференциальных уравнений составляют так называемые “теоремы существования”, в которых доказывается наличие решения у того или иного типа дифференциальных уравнений.
Первоначальная математическая формулировка задачи обычно содержит упрощающие предположения; критерием их разумности может служить степень согласованности математического решения с имеющимися наблюдениями.
Пример 1.2.3. Построить математическую модель выравнивания цен по уровню актива, если изменение уровня актива q пропорционально разности между предложением s и спросом d, изменение цены p пропорционально отклонению актива q от некоторого фиксированного уровня q0 .
Решение.
Поскольку
изменение
уровня актива q
пропорционально
разности между предложением s
и спросом d,
то
,
и исходя из экономического смысла k
> 0. В силу того что, изменение цены p
пропорционально отклонению актива q
от некоторого фиксированного уровня
q0
так, что
,
и исходя из экономического смысла m
> 0. Спрос и предложение зависят от
цены, поэтому
,
.
Таким образом, модель выравнивания цен
по уровню актива можно представить в
виде системы дифференциальных уравнений
(1.2.4):
(1.2.4).
Пример 1.2.4. Составить математическую модель процесса возрастания денежной суммы, положенной в банк при условии начисления 100 r сложных процентов в год.
Решение.
Пусть
– начальная денежная сумма, а
– денежная сумма по истечении x
лет. Если бы проценты начислялись один
раз в год, мы бы имели
,
где x
= 0, 1, 2, 3,.... Если бы проценты начислялись
два раза в год (по истечении каждого
полугодия), то мы имели бы
,
где x
= 0, 1/2, 1, 3/2, ... Вообще, если проценты
начисляются n
раз в год и переменная x
принимает последовательно значения
0, 1/n,
2/n,
3/n,...,
тогда
,
(1.2.5)
Преобразовав формулу (1.2.5), и обозначив 1/n = h , получим
.
(1.2.6)
Неограниченно увеличивая n (при n , h 0) в пределе приходим к процессу возрастания денежной суммы при непрерывном начислении процентов, т.е. при непрерывном изменении x закон возрастания выражен дифференциальным уравнением 1-го порядка:
,
(1.2.7)
где Yx – неизвестная функция, x – независимая переменная, r – постоянная.
Решив
уравнение (1.2.7), получим
.
Учитывая начальное условие Y(0)
= Y
0,
найдем С:
Y0
= Сe
0,
следовательно, Y0
= С.
Тогда решение имеет вид:
.
Пример 1.2.5. Сравнить относительные скорости возрастания национального долга и национального дохода.
Решение. Пусть национальный доход Y возрастает со скоростью, пропорциональной его величине:
.
(1.2.8)
Пусть, кроме того, дефицит в расходах правительства прямо пропорционален доходу Y (при коэффициенте пропорциональности q). Дефицит в расходах приводит к возрастанию национального долга D:
.
(1.2.9)
В формулах (1.2.8), (1.2.9) переменные Y и D непрерывные и дифференцируемые функции времени t.
Пусть
начальные условия имеют вид Y
= Y0
и D = D0
при t
= 0. Из уравнения (1.2.8), учитывая начальные
условия, получаем: Y
=
.
Подставляя найденное выражение для Y
в уравнение
(1.2.9), получаем
.
Общее решение полученного дифференциального уравнения имеет вид (1.2.10)
D = (q/k) + С , (1.2.10)
где
С
= const, которую определим из начальных
условий. Подставляя начальные условия
в полученное решение (1.2.10), получаем
.
Итак
.
Значит, национальный долг возрастает
с той же относительной скоростью k,
что и национальный доход.
Пример 1.2.6. Составить математическую модель процесса изменения цены экономической модели паутинообразного типа с запасами товаров, в которой скорость изменения цены P зависит от величины запаса товара.
Решение. Если спрос D и предложение S являются линейными функциями цены, то есть D = +aP, S = +bP, а есть постоянная, определяющая скорость реакции (то есть изменения цены при изменении запасов товара), то процесс изменения цены можно описать дифференциальным уравнением второго порядка:
.
В
качестве частного решения можно взять
постоянную
,
которая имеет смысл
цены равновесия. Отклонение
удовлетворяет
тогда однородному уравнению
.