Обыкновенные дифференциальные уравнения
1.1. Общие понятия
! |
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, неизвестную функцию, и производные или дифференциалы от неизвестной функции по этим переменным. |
Замечание 1.1.
По определению дифференциал функции
у = у(х) равен произведению
производной функции у = у(х)
на дифференциал независимой переменной,
т.е.
.
Откуда следует, что
.
Дифференциальные
уравнения могут иметь следующий вид,
например:
,
,
.
! |
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в дифференциальное уравнение. |
В приведенных примерах первое дифференциальное уравнение третьего порядка, второе дифференциальное уравнение – первого порядка, третье – второго порядка.
! |
Обыкновенным дифференциальным уравнением п-го порядка называется уравнение, содержащее неизвестную функцию только одной переменной и ее производные или дифференциалы:
где
х
–
независимая переменная, у
– неизвестная
функция
одной переменной х,
|
! |
Дифференциальное уравнение п-го порядка называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид
где f – заданная функция от n+1 переменной.
|
! |
Процесс нахождения неизвестной функции по заданному дифференциальному уравнению называется решением или интегрированием дифференциального уравнения. |
,
(1.1)
– производные функции у(х),
F
– некоторая заданная функция от n
+2
переменных.
,
(1.2)
! |
Общим решением дифференциального уравнения п-го порядка (1.1) называется функция у, зависящая от аргумента х и п произвольных постоянных С1, С2, ..., Сп:
которая при подстановке в уравнение (1.1), обращает его в тождество,
т.е.
|
,
(1.3)
.
! |
Если общее решение (1.3) дифференциального уравнения п-го порядка (1.1) не разрешено относительно переменной у, то есть имеет вид
то оно называется общим интегралом дифференциального уравнения п-го порядка. |
,
(1.4)Замечание 1.2. Интеграл дифференциального уравнения представляет собой любое уравнение, не содержащее производных, для которого данное дифференциальное уравнение является следствием.
Продифференцировав общий интеграл (1.4) дифференциального уравнения п-го порядка (1.3) по х п раз и исключив из полученных п уравнений и уравнения (1.3) п произвольных постоянных, получим дифференциальное уравнение п-го порядка (1.3).
! |
Частным решением дифференциального уравнения п-го порядка (1.1) называется его общее решение, в котором вместо произвольных постоянных С1, С2, ..., Сп записаны фиксированные числа. |
! |
Частным интегралом дифференциального уравнения п-го порядка (1.1) называется его общий интеграл, в котором вместо произвольных постоянных С1, С2, ..., Сп записаны фиксированные числа. |
Чаще всего постоянные С1, С2, ..., Сп, выбирают не произвольно, а таким образом, чтобы решение дифференциального уравнения удовлетворяло некоторым начальным условиям. Для нахождения п произвольных постоянных нужно задать п начальных условий.
! |
Задача нахождения решения дифференциального уравнения (1.1), удовлетворяющего начальным условиям называется задачей Коши.
Она состоит
в том, чтобы найти такое решение
уравнения (1.1), которое при заданном
значении аргумента х = х0
принимает заданные значения
Для того чтобы
решить задачу Коши нужно найти такое
решение дифференциального уравнения
(1.1), чтобы оно само и его производные
до (п-1) порядка при заданном значении
аргумента х = х0 принимали
бы заданные значения
|
,
т.е. удовлетворяет условиям (1.5)
.
(1.5)
.Решение задачи Коши представляет собой частное решение дифференциального уравнения.
! |
Дифференциальное уравнение п-го порядка вида
можно решить последовательным интегрированием. |
(1.6)
Пример 1.1. Найти
общее решение дифференциального
уравнения
.
Решение. Данное уравнение является дифференциальным уравнением третьего порядка, которое не содержит явным образом функцию y.
Последовательно
интегрируя, получим:
,
т.е.
,
затем
,
т.е
,
затем
,
т.е.
.
Т.о. найденное решение содержит три произвольных постоянных.
Пример 1.2.
Найти дифференциальное уравнения
второго порядка, общее решение которого
имеет вид
.
Решение.
Продифференцируем данное общее
решение два раза:
,
.
Из полученных равенств выразим С1
и С2:
,
.
Найденные выражения для С1 и С2 подставим в данное общее решение:
.
После преобразований получим искомое
дифференциальное уравнения второго
порядка
.
Пример 1.3.
Проверить, является ли функция
(С 0) решением
дифференциального уравнения
?
Решение. Найдем
дифференциал
.
Подставив функцию у и дифференциал
в данное дифференциальное уравнение,
получим тождество:
,
т.е. функция
является общим решением данного
дифференциального уравнения для любого
не равного нулю значения постоянной С.
! |
Особым решением
дифференциального уравнения называется
такое его решение, которое не может
быть получено из общего решения ни
при одном значении произвольной
постоянной, включая
|
.
В теории обыкновенных дифференциальных уравнений можно выделить две основные задачи:
1) нахождение дифференциального уравнения и начальных условий, которые описывают рассматриваемую ситуацию или процесс;
2) решение заданной задачи Коши или нахождение общего решения заданного дифференциального уравнения.
Рассмотрим несколько примеров решения этих основных задач.