3.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения с

постоянными коэффициентами второго порядка

!	Уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами второго порядка, если оно имеет вид , (3.2.1) где p и q – постоянные числа.

Решение однородного дифференциального уравнения (3.2.1) будем искать в виде , где k – некоторое число. В результате подстановки в уравнение (3.2.1) получим или или . Поскольку , то

. (3.2.2)

Равенство (3.2.2) называется характеристическим уравнением исходного уравнения (3.2.1). Уравнение (3.2.2) квадратное по , его корни могут быть

• действительными и разными, то есть .

• действительными и равными, то есть .

• комплексно сопряженными, то есть , где .

В зависимости от значений корней характеристического уравнения можно записать общее решение однородного дифференциального уравнения (3.2.1).

Теорема 3.2.2. Если характеристическое уравнение (3.2.2) однородного дифференциального уравнения второго порядка (3.2.1) имеет действительные корни, причем , то общее решение уравнения (3.2.1) имеет вид

. (3.2.3)

Если характеристическое уравнение (3.2.2) однородного дифференциального уравнения второго порядка (3.2.1) имеет действительные корни, причем , то общее решение уравнения (3.2.1) имеет вид

. (3.2.4)

Если характеристическое уравнение (3.2.2) однородного дифференциального уравнения второго порядка (3.2.1) не имеет действительных корней, причем , то общее решение уравнения (3.2.1) имеет вид

. (3.2.5)

В формулах (3.2.3)- (3.2.5) С₁ и С₂ – произвольные постоянные.

Замечание 3.2.1. Для нахождения общего решения однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (3.2.1) следует:

• составить характеристическое уравнение (3.2.2);

• найти его корни;

• воспользовавшись одной из формул (3.2.3) – (3.2.5), записать общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Пример 3.2.1. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Для нахождения общего решения данного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами составим характеристическое уравнение: . Полученное характеристическое уравнение имеет равные корни k₁ = k₂ = 2, поэтому общее решение данного однородного дифференциального уравнения, найденное по формуле (3.2.4), имеет вид: .

Пример 3.2.2. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение данного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами таково: . Его корни k₁ = 2, k₂ = 1/2, поэтому общее решение данного однородного дифференциального уравнения, найденное по формуле (3.2.3), таково .

Пример 3.2.3. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение данного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами таково: . Его корни k_1,2 = , поэтому общее решение данного однородного дифференциального уравнения, найденное по формуле (3.2.5), имеет вид или .

 Пример 3.2.4. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Характеристическое уравнение данного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами таково: . Поскольку , то его корни k_1,2 = . Откуда имеем , значит , поэтому найденное по формуле (3.2.5) общее решение данного однородного дифференциального уравнения таково

. (3.2.6)

Для нахождения частное решение дифференциального уравнения воспользуемся начальными условиями .

Найдем или с учетом , имеем = 2.

Найдем производную общего решения дифференциального уравнения (3.2.8): .

Найдем или , т.к. , то , откуда .

Подставив найденные значения произвольных постоянных =2 и в общее решение (3.2.8), получим частное решение данного дифференциального уравнения , которое удовлетворяет начальным условиям или решение задачи Коши.