3.1. Дифференциальные уравнения второго порядка,

допускающие понижение порядка

Дифференциальное уравнение второго порядка

(3.1.1)

можно решить путем понижения порядка и интегрированием.

Так , где С₁ – произвольная постоянная. Интегрируя еще раз, получим общее решение дифференциального уравнения (3.1.1) в виде , которое содержит две произвольных постоянных С₁ и С₂.

Дифференциальное уравнение второго порядка

, (3.1.2)

которое не содержит явно неизвестную функцию у, с помощью подстановки

, (3.1.3)

сводится к уравнению первого порядка относительно функции р(х).

Решив это уравнение, найдем или . Таким образом, получаем уравнение первого порядка относительно неизвестной функции у, решение которого будет иметь вид .

Дифференциальное уравнение второго порядка

, (3.1.4)

которое не содержит явно переменную х, с помощью подстановки

, , (3.1.5)

сводится к уравнению первого порядка относительно функции р, зависящей от переменной у.

Его общее решение можно получить в виде или , а значит после разделения переменных . Интегрируя последнее равенство, получим общий интеграл дифференциального уравнения (3.1.4) .

Пример 3.1.1. Найти общее решение дифференциального уравнения , а также частное решение, удовлетворяющее начальным условиям , .

Решение. Это уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка, которое допускает понижение порядка. Интегрируя его, получим или

. (3.1.3)

Интегрируя еще раз полученное дифференциальное уравнение первого порядка (3.1.3) , найдем общее решение исходного дифференциального уравнения второго порядка

. (3.1.4)

Для нахождения частного решения заданного дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям , , в общее решение (3.1.4) и в формулу (3.1.3) подставим значения х = 0, у = 2, = 1.

В результате получим систему уравнений , решив которую, найдем , . Затем найденные значения произвольных постоянных подставим в общее решение дифференциального уравнения (3.1.4) и получим решение рассматриваемой задачи Коши, т.е. частное решение заданного дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям , , в виде: .

Пример 3.1.2. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явно неизвестную функцию у. Поэтому следует воспользоваться подстановкой (3.1.1): , , тогда исходное уравнение примет вид .

Полученное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка относительно р. Найдем его решение методом вариации произвольной постоянной, полагая , откуда разделив переменные, получим , затем после интегрирования найдем .

Предположим, что в полученном решении произвольная постоянная С является неизвестной функцией от переменной х, т.е.

. (3.1.5)

Решение (3.1.5) подставим в неоднородное дифференциальное уравнение, для чего вначале найдем производную . В результате получим равенство или после преобразований имеем .

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, разделив которые получим: , откуда имеем . Поставив полученное решение в формулу (3.1.5), найдем общее решение линейного дифференциального уравнения .

Возвращаясь к искомой функции у, получим , откуда имеем . Тогда общее решение данного дифференциального уравнения второго порядка будет иметь вид .

Пример 3.1.3. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Данное уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка, которое не содержит явно переменную х. Решим его с помощью подстановки (3.1.2): , . Тогда исходное уравнение примет вид и будет являться дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными, разделив которые получим . Затем после интегрирования имеем .

После возвращения к переменной у, получим вновь дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: .

Разделив переменные, получим , откуда найдем . Это и будет общий интеграл данного дифференциального уравнения второго порядка.

Пример 3.1.4. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явно неизвестную функцию у. Поэтому следует воспользоваться подстановкой (3.1.1): , , тогда исходное уравнение примет вид .

Полученное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка c разделяющимися переменными, разделив которые получим . После интегрирования найдем , или .

Возвращаясь к искомой функции у, получим , откуда

имеем . Тогда общее решение данного дифференциального

уравнения второго порядка будет иметь вид .

Пример 3.1.5. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Данное уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка, которое не содержит явно переменную х. Решим его с помощью подстановки (3.1.2): , . Тогда исходное уравнение примет вид и будет являться дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными, разделив которые получим . Затем после интегрирования имеем . После возвращения к переменной у, получим вновь дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: .

Разделив переменные, получим , откуда найдем или . Это и будет общий интеграл данного дифференциального уравнения второго порядка.