2.5. Контрольные задания для самостоятельного решения к разделу 2

2.1. Найти общий интеграл и особые решения дифференциального уравнения .

2.2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения .

2.3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения .

2.4. Найти решение задачи Коши , .

2.5. Найти общее решение дифференциального уравнения .

2.6. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

2.7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения .

2.8. Найти общий интеграл дифференциального уравнения .

2.9. Найти общий интеграл дифференциального уравнения .

2.10. Найти общее решение дифференциального уравнения .

2.11. Найти общий интеграл дифференциального уравнения .

2.12. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

2.13. Найти общий интеграл дифференциального уравнения .

2.14. Найти общее решение дифференциального уравнения .

2.15. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

2.16. Найти общее решение дифференциального уравнения .

2.17. Найти общее решение дифференциального уравнения .

2.18. Найти общее решение дифференциального уравнения .

2.19. Найти общее решение дифференциального уравнения .

2.20. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Дифференциальные уравнения второго порядка

! ! !

Обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, содержащее неизвестную функцию только одной переменной и ее производные или дифференциалы до второго порядка включительно: . (3.1) или в виде уравнения, разрешенного относительно старшей производной: . (3.2) Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция, которая зависит от переменной (аргумента) х и двух произвольных постоянных С1, С2: , (3.3) и, которая при подстановке в уравнение (3.1), обращает его в тождество. Частным решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция , полученная при фиксированных значениях постоянных из общего решения (3.3).

Геометрически общее решение дифференциального уравнения второго порядка (3.3) это совокупность интегральных кривых, которая зависит от двух произвольных постоянных С₁, С₂, и обладает тем свойством, что через каждую точку (х₀, у₀) плоскости Оху проходит пучок интегральных кривых (рис. 3.1).

Рисунок 3.1 – Пучок интегральных кривых

Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Пусть дано дифференциальное  уравнение (3.2). Если функция и ее частные производные и непрерывны в некоторой области D пространства переменных , тогда для любой внутренней точки найдется единственное решение этого дифференциального уравнения, (3.2), удовлетворяющее условиям у₀ = у(х₀), при .

Геометрический смысл теоремы Коши заключается в том, что через заданную точку плоскости Oxy проходит единственная интегральная кривая с заданным угловым коэффициентом касательной.

 Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка (3.2) состоит в том, чтобы найти решение данного уравнения, которое при заданном значении переменной х = х₀ принимает заданные значения у₀ и , т.е. удовлетворяет начальным условиям у₀ = у(х₀), .

Геометрически решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка означает выделить одну определенную кривую из совокупности интегральных кривых, которая проходит через точку (х₀, у₀) в заданном направлении (рис. 3.1).

Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений, которые могут быть решены в конечном виде.