МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

Донецкий НАЦИОНАЛЬный университет

Экономики и торговли

имени Михаила Туган-Барановского

Кафедра высшей и прикладной математики

О.В. Шепеленко, В.Е. Силенко

Дифференциальные уравнения

Учебное пособие

для самостоятельной работы студентов дневной формы

обучения специальностей “Маркетинг”, “Учет и аудит”,

“Финансы”, “Банковское дело”

в рамках кредитно-модульной системы обучения

Утверждено

на заседании кафедры вышей и прикладной математики

Протокол № 33 от 13.06.2007 г.

Одобрено

Учебно-методическим советом

ДонНУЭТ

Протокол № ___ от _____2007 г.

Донецк 2007

ББК 22.161.1я73

Ш 48

УДК 517.2(075.8)

Рецензенты:

канд. физ.-мат. наук, доцент Фомина Т.А.,

доцент Дрибан В.М.

Шепеленко О.В.

Ш 48 Дифференциальные уравнения: Учебн. пособие для самост. работы студентов д/о спец. в рамках кредит.-мод. сист. обучения / О.В. Шепеленко, В.Е. Силенко – Донецк: ДонНУЭТ, 2007. – 118 с.

Материал ориентирован на самоорганизацию систематической учебной работы студентов по модулю “Дифференциальные уравнения” курса “Высшая математика”. Рассматриваемые теоретические вопросы иллюстрируются примерами. Многочисленные задания с вариантами ответов дают возможность студентам отработать навыки и умения решения дифференциальных уравнений первого и второго порядков. Учебное пособие может быть использовано и студентами других специальностей, а так же студентами заочного отделения.

ББК 22.161.1я73

Шепеленко О.В., Силенко В.Е. 2007

 Донецкий национальный университет экономики и торговли имени Михаила Туган-Барановского, 2007

Введение

Болонский процесс – это процесс структурного реформирования национальных систем высшего образования стран Европы, изменение образовательных программ и необходимых преобразований в вузах Европы. Создание единого европейского научного и образовательного пространства (Болонского содружества) должно быть завершено до 2010 года.

Основная цель создания Болонского содружества – это стимулирование мобильности и создание условий для свободного перемещения студентов, преподавателей, научных работников, менеджеров образования в границах этого пространства, а также обеспечение трудоустройства выпускников университетов на европейском рынке труда и повышение конкурентоспособности европейской высшей школы.

В связи с этим основным направлением развития традиционного высшего образования в Украине является его модернизация в соответствии с положениями Болонской декларации, одним из принципов которой – внедрение кредитно-модульного обучения как новейшей модели организации учебного процесса и введение модульно-рейтинговой системы оценки знаний студентов.

Кредитно-модульная система организации учебного процесса – это модель организации учебного процесса, которая основывается на объединении модульных технологий обучения и зачетных кредитов или зачетных образовательных единиц.

При кредитно-модульной системе организации учебного процесса содержание дисциплины распределяется на содержательные модули  (по 2-4 модуля на семестр), то есть учебная дисциплина формируется как система содержательных модулей. Модуль – это задокументированная законченная часть образовательно-профессиональной программы (учебной дисциплины, практики, государственной аттестации), которая реализуется соответствующими формами учебного процесса. Таким образом, содержательный модуль должен включать время на проведение лекций, семинарских, практических и лабораторных занятий, самостоятельной и индивидуальной работы (например, курсовой работы),  консультаций, практик и контроля знаний по модулю (текущего и итогового тестирования).

Зачетный кредит – это единица измерения учебной нагрузки необходимая для усвоения содержательных модулей или блока содержательных модулей. В процессе педагогического эксперимента, который проводили ведущие  высшие учебные заведениям, в Украине  был установлен объем кредита ECTS – 36 академических часов и  была установлена годовая учебная нагрузка студента – 60 кредитов ECTS. Количество кредитов ECTS на учебную дисциплину определяется делением общего объема часов, запланированных на изучение  дисциплины на цену кредита (с округлением до 0,5 кредита). Например, если  для изучения дисциплины выделяется 108 часов, то это соответствует трем кредитам. В этом случае дисциплина формируется из трех модулей.

Модульно-рейтинговая система оценки знаний предусматривает 100 бальную шкалу, то есть  100 баллов – это максимальное количество баллов, которые студент может получить за  академические успехи в процессе изучения содержательного модуля. Оценка знаний студента за содержательный модуль учитывает оценки, полученные за все виды проведенных занятий, за текущее и итоговое тестирование (например, за выполнение практических, лабораторных занятий, и т.д.) с учетом весовых коэффициентов.

Суммарное оценивание усвоения учебного материала дисциплины определяется без проведения семестрового экзамена как интегрированная оценка усвоения всех содержательных модулей с учетом весовых коэффициентов. Академические успехи студента определяются при помощи системы оценивания знаний, которая используется в вузе, но с обязательным приведением оценок к национальной шкале и шкале ECTS.

В соответствии с рабочей программой курса “Высшая математика” для экономических специальностей в рамках обучения студентов по кредитно-модульной системе организации учебного процесса теории дифференциальных уравнений отведен соответствующий модуль.

Поскольку кредитно-модульная система организации учебного процесса предполагает уменьшение числа аудиторных часов и увеличение числа часов на самостоятельную работу, то данное учебное пособие имеет своей целью оказать помощь студентам при самостоятельном изучении раздела “Дифференциальные уравнения”, способствовать сознательному усвоению теоретического материала студентами, формированию навыков в применении математических методов, помочь студентам при самостоятельном решении задач. В связи с тем, что теоретический материал усваивается студентам гораздо легче, когда он сопровождается достаточным числом примеров, иллюстрирующих его, поэтому в пособии применен вышеуказанный подход.

В связи со спецификой учебного процесса на дневном отделении актуальной является методическая разработка по основным темам модуля “Дифференциальные уравнения” курса высшей математики, которая предназначена для теоретического и практического изучения.

Много ситуаций и процессов, в которых необходимо количественно (с помощью чисел) описать явления (поскольку окружающий мир изменяется во времени в изменяющихся условиях), имеют математическое описание в виде уравнений, которые содержат неизвестную функцию, ее производные или дифференциалы. Если неизвестная функция зависит лишь от одной переменной, то методы решения таких уравнений изложены в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Случаи, когда уравнения содержат частные производные искомой функции, рассматриваются в курсе математической физики. Мы будем рассматривать лишь обыкновенные дифференциальные уравнения.

Простейшие дифференциальные уравнения встречались уже в работах И.Ньютона и Г.Лейбница; термин “дифференциальные уравнения” принадлежит Лейбницу. Ньютон при создании исчисления флюксий и флюент ставил две задачи: по данному соотношению между флюентами определить соотношение между флюксиями; по данному уравнению, содержащему флюксии, найти соотношение между флюентами. С современной точки зрения, первая из этих задач (вычисление по функциям их производных) относится к дифференциальному исчислению, а вторая составляет содержание теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Задачу нахождения неопределённого интеграла F(x) функции f(x) Ньютон рассматривал просто как частный случай его второй задачи. Такой подход был для Ньютона как создателя основ математического естествознания вполне оправданным: в очень большом числе случаев законы природы, управляющие теми или иными процессами, выражаются в форме дифференциальных уравнений, а расчёт течения этих процессов сводится к решению дифференциальных уравнений.

Теория дифференциальных уравнений выделилась в самостоятельную детально разработанную научную дисциплину в XVIII в. (труды Д.Бернулли, Ж.Д'Аламбера и особенно Л.Эйлера).

Дифференциальные уравнения являются, по сути, высшей интеллектуальной формой изучения скрытых явлений процессов, имеющих как физическую, так и социальную природу. Не умея интегрировать, мы и не можем претендовать на умение решать дифференциальные уравнения, поскольку это и есть фактически основная их операция. В этом и заключается основная проблема теории дифференциальных уравнений.

В конце каждого раздела представлены контрольные тестовые вопросы, позволяющие оценить степень усвоения изученного материала.

Усвоение учебного материала не может быть эффективным без решения задач, поэтому в данной разработке приведены образцы решения задач с подробными объяснениями, даны конкретные практические рекомендации. В конце каждого раздела предлагаются задачи для самостоятельного решения.

Для закрепления изученного теоретического материала, а также для выработки привычек и умений практического использования полученных знаний студентам предлагается выполнить контрольную роботу по содержательному модулю “Дифференциальные уравнения” (30 вариантов индивидуальных тестовых заданий).