Краткий курс лекций по

Дискретной математике

Содержание

ЛЕКЦИЯ 1

ТЕМА: ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ.

ПЛАН:

1. Понятие множества. Способы задания множеств.

2. Отношения между множествами.

3. Операции над множествами.

4. Алгебра множеств.

5. Теорема о количестве подмножеств конечного множества.

6. Формула включений и исключений.

Лекция 2

ТЕМА: ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ. ДЕКАРТОВА СТЕПЕНЬ.

ПЛАН:

1. Понятие вектора. Прямое произведение множеств.

2. Теорема о количестве элементов прямого произведения.

Лекция 3

ТЕМА: МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

ПЛАН:

1. Задачи и предмет логики.

2. Понятие высказывания.

3. Логические операции над высказываниями.

4. Формулы алгебры логики.

Лекция 4

ТЕМА: РАВНОСИЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ. ЗАКОНЫ ЛОГИКИ.

ПЛАН:

1. Равносильные формулы алгебры логики.

2. Важнейшие равносильности алгебры логики.

3. Равносильные преобразования формул.

Лекция 5

ТЕМА: ЗАКОН ДВОЙСТВЕННОСТИ. ДИЗЪЮНКТИВНАЯ И КОНЪЮНКТИВНАЯ НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ФОРМУЛ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ.

ПЛАН:

1. Закон двойственности.

2. Дизъюнктивная нормальная форма.

3. Конъюнктивная нормальная форма.

4. Проблема разрешимости.

ЛЕКЦИЯ 6

ТЕМА: АЛГЕБРА БУЛЯ. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЯ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ В ТЕХНИКЕ.

ПЛАН:

1. Алгебра Буля.

2. Функции алгебры логики.

3. Представление произвольной функции в виде формулы алгебры логики.

4. Приложения алгебры логики в технике (релейно – контактные схемы).

ЛЕКЦИЯ 7

ТЕМА: СОВЕРШЕННЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ.

ПЛАН:

1. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.

2. Совершенная конъюнктивная нормальная форма.

ЛЕКЦИЯ 8

ТЕМА: МИНИМИЗАЦИЯ В КЛАССЕ ДИЗЪЮНКТИВНЫХ НОРМАЛЬНЫХ ФОРМ.

ПЛАН:

1. Формула номера набора в таблице истинности.

2. Понятие минимальной ДНФ. Метод минимизирующих карт.

3. Метод Квайна.

4. Метод Карно.

5. Постановка задачи минимизации в геометрической форме.

6. Сокращенная ДНФ.

7. Тупиковая ДНФ. ДНФ Квайна.

ЛЕКЦИЯ 9

ТЕМА: ПОЛИНОМ ЖЕГАЛКИНА.

1. Некоторые логические операции. Двоичное сложение.

2. Полином Жегалкина.

ЛЕКЦИЯ 10

ТЕМА: ПОЛНОТА МНОЖЕСТВА ФУНКЦИЙ.

1. Полная система . Достаточное условие полноты.

2. Критерий полноты системы булевых функций.

3. Независимые системы. Базис замкнутого класса.

ЛЕКЦИЯ 11

ТЕМА : ПРЕДИКАТ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ПРЕДИКАТАМИ.

1. Понятие предиката.

2. Логические операции над предикатами.

ЛЕКЦИЯ 12

ТЕМА: КВАНТОРНЫЕ ОПЕРАЦИИ. ФОРМУЛЫ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ.

ПЛАН:

1. Кванторные операции.

2. Формулы логики предикатов.

3. Значение формулы логики предикатов.

4. Равносильные формулы логики предикатов.

Лекция 13

ТЕМА: ПРИМЕНЕНИЕ ЯЗЫКА ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ ДЛЯ ЗАПИСИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПРЕДЛОЖЕНИЙ, ОПРЕДЕЛЕНИЙ, ПОСТРОЕНИЯ ОТРИЦАНИЯ ПРЕДЛОЖЕНИЙ.

ПЛАН:

1. Запись математических предложений в виде формул логики предикатов.

2. Построение противоположных утверждений.

3. Прямая, обратная и противоположные теоремы.

4. Необходимые и достаточные условия.

5. Доказательство методом от противного.

Лекция 14

ТЕМА: МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ

1. Понятие индукции. Аксиома математической индукции.

2. Использование метода математической индукции для нахождения сумм конечного числа слагаемых

3. Использование метода математической индукции для доказательства неравенств и делимости выражений, зависящих от n на некоторое число

4. Обобщение метода математической индукции

ЛЕКЦИЯ 15

ТЕМА: БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ.

ПЛАН:

1. Понятие отношения. Бинарное отношение

2. Операции над бинарными отношениями

3. Свойства бинарных отношений

4. Специальные бинарные отношения