2. Показатели вариации

Вариация- это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени.

Средняя величина дает обобщающую характеристику признака изучаемой совокупности, но она не раскрывает строения совокупности. Средняя не показывает, как располагаются около нее варианты осредняемого признака, сосредоточены ли они вблизи средней величины или значительно отклоняются от нее.

Потому возникает необходимость измерять вариацию признака в совокупностях. Для этой цели в статистике применяют ряд обобщающих показателей.

К показателям вариации относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Размах вариации (R)- разность между максимальным и минимальным значением признака в совокупности (см. формулу 1.3).

Среднее линейное отклонение ( ) представляет собой среднюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической (при этом виде предполагают, что среднюю вычисляют из варианта.

Среднее линейное отклонение рассчитывают по формуле:

а) для несгруппированных данных

, (2.1)

где х– отдельные значения признака (вариант);

- средняя величина по совокупности;

n – число членов ряда.

б) для сгруппированных данных

, (2.2)

где - сумма частот вариационного ряда.

Дисперсия ( ) – это средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины.

а) Простая дисперсия для несгруппированных данных

, (2.3)

б) взвешенная дисперсия для вариационного ряда

. (2.4)

Среднее квадратическое отклонение ( ) равно корню квадратному из дисперсии

а) для негруппированных данных

, (2.5)

б) для вариационного ряда

. (2.6)

Среднее квадратическое отклонение показывает, на сколько в среднем откланяются конкретные варианты от их среднего значения.

Коэффициент вариации (γ) – выражен в % отношении среднего квадратического отклонения к средней арифметической

. (2.7)

Совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 %.

Правило сложения дисперсий

Общая дисперсия ( ) измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием факторов, обусловивших эту вариацию.

Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака х от общей средней и может быть вычислена как простая по (формуле 2.3) или взвешенная дисперсия (по формуле 2.4).

Межгрупповая дисперсия (δ²) характеризует систематическую вариацию результативного порядка, обусловленную влиянием факторного признака, положенного в основание группировки.

Определение по формуле

δ² , (2.8)

где x_i – средняя по каждой группе;

x_об – средняя по совокупности

Внутригрупповая дисперсия ( ) отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, обусловленную влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки

а) внутригрупповая дисперсия для негруппированных данных может быть исчислена по формуле

, (2.9)

б) для сгруппированных данных

. (2.10)

На основании внутригрупповой дисперсии можно определить общую среднюю из внутригрупповых дисперсий

.

Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповых дисперсий

.

Пример 3

Вычислить показатели вариации (s² ,s, d, R, ) по следующим исходным данным (табл.4).

Таблица 4- Распределение рабочих-сдельщиков n-го цеха по фактической выработке деталей

Дневная выработка деталей, шт.	Число рабочих-сдельщиков, чел.
8 9 10 11 12	29 33 79 47 12	232 297 790 517 144	-1,9 -0,9 0,1 1,1 2,1	55,1 29,7 7,9 51,7 25,2	104,69 26,73 0,79 56,87 52,92
Итого:	200	1980	–	169,6	242,0

1)Находим среднюю по совокупности

2) Размах вариации R = X_max – X_min , R = 12 – 8 = 4 шт.

3) Среднее линейное отклонение d = = = 0,848 шт.

Сравниваем отклонение с величиной Среднее отклонение вариантов признака от их средней величины несущественное, следовательно, совокупность в отношении признака однородна, а средняя типична для данной совокупности.

3) ; 4)

Среднее квадратическое отклонение невелико по сравнению с Вывод тот же, что и при определении среднего линейного отклонения.

5) Коэффициент вариации ,

следовательно, совокупность однородна.

Пример 4

Имеется производительность труда двух групп рабочих n-го цеха (табл.5).

Таблица 5 -Производительность труда 2-х групп рабочих n-го цеха

Показатель	Рабочие, прошедшие техническое обучение					Рабочие, не прошедшие техническое обучение
Выработка, дет./см.	84	93	95	101	102	62	68	82	88	105
Число рабочих, чел.	1	2	1	4	2	2	2	3	2	1

Рассчитать три вида дисперсии, проверить правило сложения дисперсий.

Решение

Производительность труда – результативный признак. Численность – это частота.

Определим средние значения производительности труда

1) групповые средние

дет.

дет.

2) общая средняя дет.

Определим внутригрупповые дисперсии (всего две группы, следовательно, дисперсий будет тоже две)

=

=

Межгрупповая дисперсия (

Средняя из внутригрупповых

Общая дисперсия, рассчитанная с использованием правила сложения дисперсий, имеет следующее значение

Общая дисперсия, рассчитанная по базовой формуле, дает тот же результат

Эмпирическое корреляционное соотношение

Вывод: Фактор технического обучения объясняет 66,1% вариации производительности труда.