10. Поле объемного шара.

Поле объемно заряженного шара. Шар

радиуса R с общим зарядом Q заряжен равномерно с объемной плотностью r (r=dQ/dV— заряд, приходящийся на единицу объема). Учиты­вая соображения симметрии (см.п.3), можно показать, что для напряженности поля вне ша­ра получится тот же результат, что и в предыду­щем случае (см. (82.3)). Внутри же шара на­пряженность поля будет другая. Сфера радиуса r'<R охватывает заряд Q'=⁴/₃pr'³r. Поэтому, согласно теореме Гаусса (81.2), 4pr'²E=Q'/e₀=⁴/₃pr³r/e₀. Учитывая, что r=Q/(⁴/₃pR³), получим

Таким образом, напряженность ноля вне равно­мерно заряженного шара описывается форму­лой (82.3), а внутри его изменяется линейно с расстоянием r' согласно выражению (82.4). График зависимости E от r приведен на рис. 130.

11. Потенциал электростатического поля.

Потенциал электростатического поля. Поле консервативной силы может быть описано не только векторной функцией, но эквивалентное описание этого поля можно получить, определив в каждой его точке подходящую скалярную величину. Для электростатического поля такой величиной является потенциал электростатического поля, определяемый как отношение потенциальной энергии пробного заряда q к величине этого заряда,  = W_п / q, откуда следует, что потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд. Единицей измерения потенциала служит Вольт (1 В).

12. Связь между напряженностью и потенциалом э.С.П.

 Итак, электростатическое поле можно описать либо с помощью векторной величины  , либо с помощью скалярной величины φ. Очевидно, что между этими величинами должна существовать определенная связь. Найдем ее:

      Изобразим перемещение заряда q по произвольному пути l (Рис. 3.1) в электростатическом поле  .

      Работу, совершенную силами электростатического поля на бесконечно малом отрезке dl, можно найти так:

(3.4.1)

      где E_l – проекция  на  ; dl– произвольное направление перемещения заряда.

      С другой стороны, как мы показали, эта работа, если она совершена электростатическим полем, равна убыли потенциальной энергии заряда, перемещенного на расстоянии dl:

,

отсюда

(3.4.2)

      Для ориентации dl (направление перемещения) в пространстве, надо знать проекции  на оси координат:

(3.4.3)

      По определению градиента сумма первых производных от какой-либо функции по координатам есть градиент этой функции, то есть

       – вектор, показывающий направление наибыстрейшего увеличения функции.

      Тогда коротко связь между   и φ записывается так:

(3.4.4)

      или так:

,

(3.4.5)

где  (набла) означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона.

      Знак минус говорит о том, что вектор   направлен в сторону уменьшения потенциала электрического поля.