Решение для коэффициентов

Алгоритм Эвклида можно использовать и для решения следующих проблем: дан массив из m переменных x₁, x₂, ..., x_m, найти массив m коэффициентов, u_l, u₂, ..., u_m, таких что

u_l * x₁+...+ u_m * x_m, = 1

Малая теорема Ферма

Если m - простое число, и a не кратно m, то малая теорема Ферма утверждает

a^m-1  1 (mod m)

(Пьер де Ферма (Pierre de Fermat), французский математик, жил с 1601 по 1665 год. Эта теорема не имеет ничего общего с его знаменитой теоремой.)

Функция Эйлера

Существует другой способ вычислить обратное значение по модулю n, но его не всегда возможно использовать. Приведенным множеством остатков mod n называется подмножество полного множества остатков, члены которого взаимно просты с n. Например, приведенное множество остатков mod 12 - это {1, 5, 7, 11}. Если n - простое число, то приведенное множество остатков mod n - это множество всех чисел от 1 до n-1. Для любого n, не равного 1,число 0 никогда не входит в приведенное множество остатков.

Функция Эйлера, которую также называют функцией фи Эйлера и записывают как (n), - это количество элементов в приведенном множестве остатков по модулю n. Иными словами, (n) - это количество положительных целых чисел, меньших n и взаимно простых с n (для любого n, большего 1). (Леонард Эйлер (Leonhard Euler), швейцарский математик, жил с 1707 по 1783 год.)

Если n - простое число, то (n) = n-1. Если n = pq, где p и q -простые числа, то (n)= (p - 1)(q - 1). Эти числа появляются в некоторых алгоритмах с открытыми ключами, и вот почему. В соответствии с обобщением Эйлера малой теоремы Ферма, если НОД(a,n) = 1, то

a^(n) mod n = 1

Теперь легко вычислить a^-1 mod n:

x = a^(n)-1 mod n

Например, какое число является обратным для 5 по модулю 7? Так как 7 - простое число, (7) = 7 - 1 = 6. Итак, число, обратное к 5 по модулю 7, равно

5^6-1 mod 7 = 5⁵ mod 7 = 3

Эти методы вычисления обратных значений можно расширить для более общей проблемы нахождения x (если НОД(a,n) = 1):

(a*x) mod n = b

Используя обобщение Эйлера, решаем

x = (b* a^(n)-1 ) mod n

Используя алгоритм Эвклида, находим

x = (b* (a^-1 mod n) ) mod n

В общем случае для вычисления обратных значений алгоритм Эвклида быстрее, чем обобщение Эйлера, особенно для чисел длиной порядка 500 бит. Если НОД(a,n)  1, не все потеряно. В этом общем случае (a*x) mod n=b, может иметь или несколько решений, или ни одного.

Китайская теорема об остатках

Если известно разложение числа n на простые сомножители, то для решения полной системы уравнений можно воспользоваться Китайской теоремой об остатках. Основной вариант этой теоремы был открыт в первом веке китайским математиком Сун Цзе.

В общем случае, если разложение числа n на простые сомножители представляет собой p₁*p₂*...*p_t, то система уравнений

(x mod p_i) = a_i, где i = 1, 2, . . . , t

имеет единственное решение, x, меньшее n. (Обратите внимание, что некоторые простые числа могут появляться несколько раз. Например, p₁ может быть равно p₂.) Другими словами, число (меньшее, чем произведение нескольких простых чисел) однозначно определяется своими остатками от деления на эти простые числа.

Например, возьмем простые числа 3 и 5, и 14 в качестве заданного числа. 14 mod 3 = 2, и 14 mod 5 = 4. Существует единственное число, меньшее 3*5 = 15, с такими остатками: 14. Два остатка однозначно определяют число.

Поэтому для произвольного a < p и b < q (где p и q - простые числа), существует единственное число x, меньшее pq, такое что

x  a (mod p), и x  b (mod q)

Для получения x сначала воспользуемся алгоритмом Эвклида, чтобы найти u, такое что

u*q  1 (mod p)

Затем вычислим:

x = (((a - b) *u) mod p) * q + b

Вот как выглядит Китайская теорема об остатках на языке C:

/* r - это количество элементов в массивах m and u;

m - это массив (попарно взаимно простых) модулей

u - это массив коэффициентов

возвращает значение n, такое что n == u[k]%m[k] (k=0..r-1) и

n < [m[0]*m[l]*...*m[r-1]

*/

/* Получение функции Эйлера (totient) остается упражнением для читателя. */

int Chinese_remainder (size_t r, int *m, int *u) {

size_t i;

int modulus;

int n;

modulus=1;

for (i=0; i<r; ++i)

modulus*=m[i];

n=0;

for (i=0; i<r; ++i) {

n+=u[i] * modexp(modulus/m[i]*totient(m[i]),m[i]);

n %= modulus;

}

return n;

}

Обращение Китайской теоремы об остатках может быть использовано для решения следующей проблемы: если p и q - простые числа, и p меньше q, то существует единственное x, меньшее, чем pq, такое что

a  x (mod p), и b  x (mod q)

Если a b mod p, то

x = (((a - (b mod p)) * u) mod p) * q + b

Если a < b mod p, то

x = (((a + p - (b mod p))*u) mod p)*q + b