Порядок выполнения задания

1. Установите автоматический режим вычислений и режим отображения результатов по горизонтали.

2. Введите полярные координаты.

3. Определите в полярных координатах уравнение кривых, ограничивающих данную область. Указание. Для того чтобы выразить в полярных координатах уравнение кривых, ограничивающих заданную область, необходимо решить систему уравнений: данной кривой, связь межу полярными координатами и переменными x и y. При этом использовать функции Given - Find.

4. Изобразите на графике область интегрирования.

5. Вычислите площадь полученной фигуры, используя полярные координаты.

Пример 2. Перейдя к полярным координатам, вычислить интеграл , где область G ограничена окружностью .

Образец выполнения задания в Mathcad:

1. Введём полярные координаты. Выразим через границы области .

2. Определим как изменяется .

3. Построим чертёж и вычислим интеграл

Пример 3. Найти площадь области, ограниченной линиями , , , .

Образец выполнения задания в Mathcad:

1. Введём полярные координаты. Выразим через границы области .

Следовательно,

Следовательно,

Следовательно,

Следовательно,

2. Построим чертёж и вычислим интеграл

Указание. Для того чтобы выразить в полярных координатах уравнение кривых, ограничивающих заданную область, необходимо решить систему уравнений: данной кривой, связь межу полярными координатами и переменными x и y. При этом использовать функции Given - Find.

Задание 3: Пластинка D задана ограничивающими ее кривыми, - поверхностная плотность. Найти массу пластинки.

Порядок выполнения задания

1. Установите автоматический режим вычислений и режим отображения результатов по горизонтали.

2. Определите уравнение кривых, ограничивающих данную плоскую фигуру (если необходимо перейти к полярным координатам).

3. Изобразите на графике область интегрирования.

4. Найдите символьно точки пересечения данных кривых.

5. Вычислите массу пластинки.

Пример 4. Найти массу пластинки, ограниченной линиями , , если плотность равна .

Образец выполнения задания в Mathcad:

1. Введём полярные координаты. Выразим через границы области .

3. Определим как изменяется .

Указание. Для того чтобы найти значение параметра , которое соответствует точке пересечения кривых, нужно решить уравнение: введите разность между функциями, графики которых пересекаются; щелкните по кнопке решения уравнений solve в панели символьных вычислений. Введите в помеченной позиции справа – имя переменной, относительно которой нужно решить уравнение, и щелкните по свободному месту в рабочем документе. Результат – значение корня уравнения – будет отображен в рабочем документе справа от стрелки.

3. Построим чертёж и вычислим интеграл

Указание. Для того чтобы найти значение параметра , которое соответствует точке пересечения кривых, нужно решить уравнение: введите разность между функциями, графики которых пересекаются; щелкните по кнопке решения уравнений solve в панели символьных вычислений. Введите в помеченной позиции справа – имя переменной, относительно которой нужно решить уравнение, и щелкните по свободному месту в рабочем документе. Результат – значение корня уравнения – будет отображен в рабочем документе справа от стрелки.

Задание 4: Найти координаты центра масс однородных плоских фигур, ограниченных данными кривыми.