3. Основные понятия теории вероятностей: опыт, исходы опыта, пространство элементарных исходов. Примеры.

Под испытанием (опытом) в теории вероятностей принято понимать наблюдение какого-либо явления при соблюдении определенного комплекса условий, который должен каждый раз строго выполняться при повторении данного испытания. Если то же самое явление наблюдается при другом комплексе условий, то это уже другое испытание.

Исход опыта – результат испытания. Опр.: Совокупность всех возможных результатов опыта в теории вероятности называется пространством элементарных исходов, мы будем обозначать это пространство греческой буквой W. Элементарные исходы обозначаются как , где i может принимать значения от одного до максимума по числу возможных вариантов результата опыта. Для наглядности W изображают в виде некоторой области на плоскости, а элементарные исходы - точками в этой области. Мы будем также пользоваться математическим обозначением W={ , i=1, ...} для описания того факта, что пространство элементарных исходов W образуется совокупностью всех элементарных исходов .

Пример: При падении монеты существует два элементарных исхода: выпадет герб или выпадет решетка. Оба результата равновероятны, т.е. вероятности того, что монета останется лежать гербом вверх равна 50% (или 1/2), с такой же вероятностью выпадет другая сторона. Какой бы результат не загадал игрок как благоприятный для себя, его шанс выиграть и вероятность проиграть одинаковы. Пример: При бросании игральной кости существует уже шесть возможных элементарных исходов (количество выпавших очков может меняться от 1 до 6). Если игральная кость имеет правильную форму, все шесть результатов равновероятны. Другими словами, вероятность того, что при единственном выбрасывании кости выпадет, например, шесть очков, равна 1/6. Если только эта цифра считается выигрышем при данном броске, шансов выиграть у игрока в три раза меньше, чем в прошлый раз. Если мы хотим "уровнять" шансы при бросании игральной кости с шансом выиграть при бросании монеты, нам надо изменить правила игры, например, считать выигрышем выпадение любого четного числа. Поскольку игральная кость имеет три грани с четными числами и три грани с нечетными, шансы выиграть и проиграть при единственном броске у нас будут одинаковыми (вероятностью выигрыша станет 1/2, т.е. такой же, как при бросании монеты).

4. Основные определения теории вероятностей: случайные события, благоприятствующие исходы, совместные и несовместные события.

Случайным событием (просто событием) называется любой факт, который в результате может произойти или не произойти.

Испытание – это выполнение определенного комплекса условий, в котором наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной факт.

Обозначение: А,В,С и т.д.

Соб.А – выигрыш авто по билету лотереи

Соб.В – появление герба при подбрасывании монеты.

Случай называется благоприятствующим событию А, если появление этого случая влечет за собой появление события А.

Два события А и В называются несовместными, если наступление одного исключает появление другого. (Пример: соб.А – студент получил 5 на экзамене, соб.В – этот же студент получил 4 по этому же предмету. Соб.А и В несовместные, т.к. не могут произойти при одном исходе испытаний.)

Два события А и В называются совместными, если они могут произойти при одном исходе испытаний. (Студент получил 5 по одному предмету и 4 по другому)

Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно должно произойти.

Событие называется невозможным, если в результате испытания оно вообще не может произойти. (Пример: в партии изделия все стандартные. Соб.А – извлечение стандартного изделия, соб.В – извлечение брака. А – достоверное, В – невозможное)

События называются равновозможными, если в результате испытания по условиям симметрии не одно из этих событий не является объективно более возможным.(Пример: пусть происходит подбрасывание монеты. Соб.А- орел, соб.В – решка)

Несколько событий называются единственно возможными, если в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них.

События образуют полную группу, если они являются единственно возможными и несовместными исходами испытания.

Два несовместных события, из которых одно должно произойти называются противоположными.

Обозначение: А, .

5. Вероятностное пространство опыта: множество всех событий, связанных с опытом, как множество всех подмножеств пространства элементарных исходов. Два типа классификации событий: по возможности наступления и по составу.

Вероятностное пространство — это тройка   , где

•  — это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;

•  — сигма-алгебра подмножеств  , называемых (случайными) событиями;

•  — вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что  .

Замечания 

• Элементарные события (элементы  ), по определению, — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.

• Каждое случайное событие (элемент  ) — это подмножество  . Говорят, что в результате эксперимента произошло случайное событие  , если (элементарный) исход эксперимента является элементом  . Требование, что   является сигма-алгеброй подмножеств  , позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счетного числа случайных событий, а также о вероятности дополнения любого события.

Таким образом, множество всех событий, связанных с опытом – это множество всех подмножеств пространства элементарных исходов.

События (по возможности наступления) делятся на:

• Невозможные (в результате опыта никогда не произойдут),

• Достоверные (в результате опыта происходят всегда),

• Случайные (в результате опыта событие может произойти или не произойти).

События называются равновозможными, если в результате испытания по условиям симметрии не одно из этих событий не является объективно более возможным.(Пример: пусть происходит подбрасывание монеты. Соб.А- орел, соб.В – решка)

Несколько событий называются единственно возможными, если в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них.

События образуют полную группу, если они являются единственно возможными и несовместными исходами испытания.

Два несовместных события, из которых одно должно произойти называются противоположными.