Вибірка за результатами вимірювання двовимірної випадкової величини

	2	4	6	8	10	12	14	16
	8,5	12,4	12,9	19,9	20,4	23,4	23,6	30,7

Визначити параметри лінійного рівняння регресії.

Розв’язання. Визначимо основні числові характеристики системи двох випадкових величин , що дозволить нам побудувати систему нормальних рівнянь (16.8^І). Отже, маємо: ; ; ; ; . Записуємо систему нормальних рівнянь відносно оцінок параметрів моделі:

Розв’язавши цю систему лінійних рівнянь, отримаємо значення статистичних оцінок параметрів регресійної моделі: ; .

Отже, рівняння регресії має вигляд:

.

У попередньому прикладі вибірка містила результати тільки восьми вимірювань, тому емпіричні дані недоцільно було групувати. Тепер розглянемо приклад, коли вибіркова сукупність велика за обсягом.

Приклад. Вибіркова сукупність містить результати ста вимірювань. Після групування вони надані у вигляді кореляційної таблиці (табл. 16.2).

Таблиця 16.2

Кореляційна таблиця за результатами вимірювання двовимірної випадкової величини

Х Y	10	15	20	25	30
40	5	7
50		9	12	8
60		2	21	11	8
70			7	4	4
80					2

Побудувати спряжені рівняння регресії у припущенні лінійного кореляційного зв’язку між факторами та .

Розв’язання. Для вибіркової сукупності, об’єкти якої надані у вигляді кореляційної таблиці (табл. 16.2), вже було проведено кореляційний аналіз і результати наведені при викладанні лекції 15 (табл. 15.6). Отже, скористаємося цими даними для побудови моделі парної лінійної регресії. За результатами кореляційної таблиці були отримані такі статистичні оцінки основних числових характеристик системи двох випадкових величин: ; ; ; ; . Відповідно до формул (16.12) і (16.13) отримуємо:

; .

Рівняння регресії має вигляд:

.

За формулами, які подібні до формул (16.12) і (16.13), визначимо точкові оцінки параметрів спряженої лінії регресії . Маємо:

;

.

Отже, спряжене вибіркове рівняння регресії має вигляд:

.

Побудуємо на кореляційному полі вибіркові лінії регресії, що відповідають спряженим рівнянням. Для цього за кожним з отриманих рівнянь обчислимо координати двох точок, через які проходитимуть лінії регресії. Слід пам’ятати, що обидні лінії регресії проходять через центр вибіркової сукупності, тобто перетинаються в точці з координатами . Результати наведені на рис. 16.2.

Рис. 16.2. Спряжені вибіркові лінії регресії

Ще одним показником, який відображає щільність кореляційного зв’язку, є тангенс кута , що утворюють між собою спряжені лінії регресії. Відповідно до формули аналітичної геометрії обчислюємо тангенс кута між лініями регресії за їх кутовими коефіцієнтами:

,

де , – кутовий коефіцієнт (тангенс кута нахилу) для прямих, що розглядаються, за умов, що .

Оскільки кут нахилу відносно осі 0Х лінії регресії є більшим у порівнянні з кутом нахилу лінії регресії , то у цій формулі , а визначення треба побудувати обернену функцію за вибірковим рівнянням та знайти з нього в явному вигляді як функцію від . Отже, отримуємо значення тангенса кута між лініями регресії:

.

Після перетворень отримуємо:

. (16.14)

Для прикладу, що розглядається, маємо:

.

Оскільки кут між вибірковими рівняннями регресії невеликий, то кореляційний зв’язок між факторами і є тісним.