15.3. Коефіцієнти рангової кореляції Спірмена

Як уже підкреслювалось раніше, коефіцієнт кореляції Пірсона може застосовуватися тільки у випадку, коли випадкові величини та розподілені за нормальним законом. В інших випадках застосовуються коефіцієнти рангової кореляції Спірмена та Кендалла, а для якісних характеристик – критерій .

Нехай маємо вибіркову сукупність обсягом , де – окремі спостереження двовимірної випадкової величини . Кожному значенню ( ) компонента поставимо у відповідність ранг , тобто номер елементу у варіаційному ряді . Аналогічно для компонента визначимо ранги його елементів ( ). Кожній парі відповідає пара рангів . Для оцінювання ступеня зв’язку між компонентами двовимірної випадкової величини існує два види рангових коефіцієнтів кореляції – Спірмена і Кендалла.

Вибірковий коефіцієнт кореляції Спірмена , який є статистичною оцінкою коефіцієнт кореляції Спірмена у генеральній сукупності, обчислюється за формулою:

. (15.9)

Властивості вибіркового коефіцієнта кореляції Спірмена.

1. Значення вибіркового коефіцієнта кореляції Спірмена знаходяться між 1 та -1: . Причому, чим ближче до нуля його абсолютна величина, тим менше залежність між випадковими величинами і .

2. Якщо ранги обох елементів співпадають при всіх значеннях , тобто при , то вибірковий коефіцієнт рангової кореляції Спірмена дорівнює одиниці, тобто має місце повний прямий зв’язок.

3. Якщо рангу відповідає ранг , рангу відповідає ранг , …, а рангу відповідає ранг , то має місце повний зворотній зв’язок і вибірковий коефіцієнт рангової кореляції Спірмена дорівнює мінус одиниці.

4. Якщо випадкові величини і є незалежними, то та .

Для перевірки значущості рангової кореляції зв’язку для вибірок обсягом застосовується наступне правило. Для того щоб при рівні значущості перевірити нульову гіпотезу при альтернативній гіпотезі , потрібно обчислити випадкову величину:

, (15.10)

яка розподілена за статистикою Стьюдента з числом ступенів свободи . При рівні значущості значення цієї випадкової величини порівнюють з критичною точкою двосторонньої критичної області. Якщо , то гіпотезу нема підстав відхилити, отже, на рівні значущості зв’язок між рангами факторів і є статистично неістотним. Якщо , то гіпотеза відхиляється на користь альтернативної, отже, .

При великих обсягах вибірки ( ) можна скористатись тим, що розподіл випадкової величини асимптотично наближається до нормального N , отже, гіпотеза щодо незалежності рангів спростовується, якщо виявиться, що , де визначається як аргумент функції Лапласа згідно з умовою . Цей критерій можна використовувати вже при .

Приклад. Знання десяти студентів перевірялись за двома групами тестів: і . Результати перевірки у вигляді оцінок за стобальною шкалою наведені в таблиці (табл. 15.7), де перший рядок відповідає загальній кількість балів, яка отримана за тестом , а другий – за тестом .

Таблиця 15.7