Лекція 11. Статистичне оцінювання параметрів розподілу. Точкові оцінки

11.1. Загальні поняття

11.2. Вимоги, яким повинні відповідати статистичні оцінки

11.3. Застосування методу моментів для визначення точкових

оцінок параметрів розподілу

11.4. Метод найбільшої правдоподібності

11.5. Питання для самоперевірки

11.1. Загальні поняття

Однією з задач математичної статистики є статистичне оцінювання числових характеристик випадкових величин та параметрів їх розподілу у генеральній сукупності за результатами дослідження вибірки. Припущення щодо закону розподілу одновимірної випадкової величини у генеральній сукупності можна висловити або відповідно до теоретичних міркувань, або за емпіричними даними за виглядом гістограми та полігону. Подальше дослідження параметрів закону розподілу здійснюється шляхом статистичної обробки даних вибіркової сукупності, але за результатами вибірки ми отримуємо не саме значення параметру , а лише його статистичну оцінку

Слід мати на увазі, що статистична оцінка невідомого параметра теоретичного розподілу є функцією від результатів спостережень. Однак дані, які потрапили до вибірки, можуть містити похибки. Ці похибки поділяються на два класи: випадкові і систематичні. Випадкові похибки пов’язані з самою природою вибіркового методу, і їх можна оцінити за вибірковими даними. Навпаки, систематичні похибки мають невипадкову природу, вони пов’язані з відхиленням властивостей вибіркової сукупності від генеральної. Похибки такого роду з’являються, коли порушується головне правило відбору – забезпечення для всіх об’єктів однокової ймовірності потрапити до вибірки. Джерелом систематичних похибок може бути відсутність інформації щодо розподілу ознаки, що досліджується, у генеральній сукупності і, як наслідок, відхилення структури вибіркової сукупності від структури генеральної сукупності. Крім того, до систематичних похибок призводить свідомий відбір найбільш зручних об’єктів генеральної сукупності. Похибки такого роду не піддаються статистичному оцінюванню.

11.2. Вимоги, яким повинні відповідати статистичні оцінки

Припустимо, що існує певна генеральна сукупність, яку утворюють значення одновимірної випадкової величини. За допомогою вибіркового методу проводиться дослідження параметрів розподілу цієї випадкової величини. Оскільки з тієї ж самої генеральної сукупності можні зробити декілька вибіркових сукупностей, то при дослідженні кожної з них для параметра ми отримаємо свою статистичну оцінку ( ), де – кількість вибіркових сукупностей.

Отже, статистична оцінка є випадковою величиною. Як і для будь-якої одновимірної випадкової величини її основними числовими характеристиками є математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення. Якщо в якості статистичної оцінки розглядати тільки одне число, то така оцінка називається точковою. Однак слід також приймати до уваги розпорошення значень випадкової величини, якою є статистична оцінка, навколо центру сукупності цих значень. Отже, у деяких випадках доцільно можливі значення параметру, що підлягає оцінюванню, характеризувати двома числами – початком і кінцем інтервалу, до якого цей параметр належатиме з певною надійністю. Така статистична оцінка, що визначається двома числами, називається інтервальною.

Для того, щоб статистична оцінка достатньо точно відображала значення параметра, для якого здійснюється оцінювання, вона повинна відповідати певним вимогам. Такими вимогами є незсунутість, ефективність та ґрунтовність. Пояснимо сенс кожної з вимог.

Статистична оцінка є незсунутою оцінкою параметра , якщо математична сподівання цієї оцінки при будь-якому обсязі вибіркової сукупності дорівнює параметру, що оцінюється:

.

Виконання цієї вимоги означає відсутність систематичних похибок, що мають однаковий знак. Так, згідно з законом великих чисел у формі Чебишова вибіркова середня є незсунутою оцінкою математичного сподівання випадкової величини, оскільки виконується співвідношення:

.

Наприклад, якщо кілька разів визначати вагу якогось товару, застосовуючи для цього точні ваги, то ми кожного разу отримаємо трошки інший результат, але всі ці результати будуть коливатись навколо істинної ваги товару.

Якщо математичне сподівання статистичної оцінки не дорівнює параметру, який оцінюється, то така статистична оцінка називається зсунутою. Причиною зсуві статистичної оцінки є наявність систематичних похибок. Так, при формуванні вибіркової сукупності для об’єкта генеральної сукупності тим більша ймовірність потрапити до вибірки, чим більша кількість таких об’єктів у генеральній сукупності. Відповідно, об’єкти, кількість яких у генеральній сукупності дуже мала, можуть не потрапити у вибіркову сукупність. Таким чином, дисперсія у вибірковій сукупності нижча, ніж дисперсія у генеральній сукупності. Наприклад, студентом денного відділення може бути людина віком від чотирнадцяти до тридцяти п’яти років. Багато ви пригадаєте у вашій групі людей чотирнадцяти років? А тридцяти п’яти? Хоча у вашій вибірковій сукупності їх нема, але у генеральній сукупності вони є.

Вимога незсунутості для статистичних оцінок не є обов’язковою. Якщо відомо, куди саме зсунута статистична оцінка і на скільки відбувається цей зсув, можна ввести поправку на зсув, і тоді ми отримаємо незсунуту оцінку.

Оскільки вибіркова дисперсія є зсунутою оцінкою дисперсії випадкової величини у генеральній сукупності, враховуючи це, для вибіркової дисперсії вводять поправку на зсув, яка дорівнює: . Таким чином, статистична оцінка дисперсії залежиться від обсягу вибіркової сукупності. Для визначення виправленої дисперсії користуються формулою:

. (11.1)

Відповідно величина є виправленим середнім квадратичним відхиленням. Саме воно є оцінкою середнього квадратичного відхилення теоретичного розподілу, яке характеризує розпорошення випадкової величини навколо центра сукупності.

Окрім незсунутості статистичні оцінки повинні відповідати вимозі ефективності. Ефективною є статистична оцінка, якій при заданому обсязі вибірки відповідає найменша з можливих дисперсій. Цю вимогу можна зрозуміти наступним чином: недостатньо дати точкову оцінку деякого параметру, необхідно також, щоб інтервал, до якого належить цей параметр генеральної сукупності, був якомога меншим, а надійність, з якою ми гарантуємо попадання параметру до цього інтервалу, якомога більшою.

Ще однією вимогою, якій повинна відповідати статистична оцінка, є ґрунтовність. Суть цією вимоги полягає в тому, що статистична оцінка при необмеженому зростанні обсягу вибірки повинна за ймовірністю наближатись до параметра, для якого це оцінювання здійснюється. Отже, для ґрунтовної оцінки виконується співвідношення:

,

де – як завгодно мале додатне число .