9.2. Числові характеристики та кореляційна функція випадкового процесу

Основними числовими характеристиками випадкового процесу є математичне сподівання , дисперсія , які є функціями від . Математичне сподівання – це середня траєкторія для всіх реалізацій процесу. Дисперсія характеризує можливе розпорошення реалізацій випадкової функції навколо середньої траєкторії.

Математичним сподіванням і дисперсією випадкового процесу називаються, відповідно, такі невипадкові функції та , які для кожного дорівнюють відповідно математичному сподіванню і дисперсії перерізу процесу в цей момент .

Якщо та – два будь–які перерізи процесу , то їх кореляційний момент називається кореляційною функцією випадкового процесу , тобто

,

де - «центрований» переріз процесу у момент .

Як відомо, ці числові характеристики пов’язані із трьома моментами перших двох порядків процесу.

Основні числові характеристики визначаються за допомогою одновимірної та двовимірної щільностей ймовірності:

9.3. Властивості кореляційної функції випадкового процесу

Розглянемо властивості кореляційної функції випадкового процесу.

1. Властивість симетрії: .

2. ;

3. Якщо до випадкової функції додати невипадкову функцію , то кореляційна функція не зміниться тобто:

. (9.1)

4. При множенні випадкової функції на невипадкову кореляційний момент помножується на добуток функцій і :

. (9.2)

5. ;

6. ,

де – будь–яка комплексно – значуща функція;

– будь–яке.

Якщо від випадкової функції відняти її математичне сподівання, то одержимо центровану випадкову функцію . Зрозуміло, що .

Центрованою і нормованою є функція, що має вигляд:

.

Для неї , , , тобто кореляційний момент дорівнює коефіцієнту лінійної кореляції між двома перерізами процесу , .

9.4. Кореляційна функція залежності між двома випадковими процесами

Нехай і – два випадкових процеси, що мають скінченні дисперсії. Якщо ці процеси впливають один на одний, то вони є залежними між собою. Тоді взаємна кореляційна функція, або кореляційна функція зв’язку цих процесів визначається співвідношенням:

Якщо , то процеси і називаються некорельованими. Якщо , тоді процеси і називаються стаціонарно пов’язаними.

Нехай , тоді відносно їх основних характеристик виконуються наступні співвідношення:

Якщо процеси некорельовані, тоді

9.5. Різновиди випадкових процесів. Стаціонарні процеси

Випадкові процеси розподіляються на кілька різних видів, головним чином на процеси безпіслядійні та стаціонарні. До них відносяться: неперервний випадковий процес; суто розривний; однорідний із незалежними приростами; пуассонівський процес; марківський процес; стаціонарний тощо.

Процес називається стаціонарним у вузькому розумінні, якщо усі його - вимірні закони не змінюються від зсуву за віссю усіх моментів на одну і ту ж величину, тобто вони залежать лише від взаємного розташування цих моментів. Для стаціонарного у вузькому розумінні процесу математичне сподівання і дисперсія постійні, а кореляційна функція залежить лише від різниці своїх аргументів:

де .

Процес називається стаціонарним у широкому розумінні, якщо для нього виконуються згадані вище властивості і . Для стаціонарного (у широкому розумінні) процесу мають місце співвідношення:

Із стаціонарності у вузькому розумінні, як бачимо, витікає стаціонарність у широкому розумінні, але не навпаки. Для стаціонарних і нормальних процесів обидва поняття стаціонарності співпадають.

Для стаціонарного (у широкому розумінні) процесу маємо:

, ,

. (9.3)

Якщо , то . Введемо позначення: , тоді . Функція задовольняє властивості симетрії, тобто , тому кореляційна функція є парною.

Якщо і – два стаціонарні процеси, то вони не обов’язково стаціонарно пов’язані, але стаціонарно пов’язаними можуть бути і нестаціонарні процеси. Стаціонарні і нормальні процеси стаціонарні у вузькому розумінні і тому, стаціонарно зв’язані (зокрема незалежні). Якщо випадковий процес стаціонарний, тоді усі випадкові змінні мають однаковий розподіл, який не залежить від аргументу , а двомірний розподіл змінних і залежить від різниці , а не від та .