Тема 9. Елементи теорії випадкових процесів і теорії масового обслуговування

9.1. Випадкові процеси та їх загальні поняття

9.2. Числові характеристики та кореляційна функція випадкового процесу

9.3. Властивості кореляційної функції випадкового процесу

9.4. Кореляційна функція залежності між двома випадковими

процесами

9.5. Різновиди випадкових процесів. Стаціонарні процеси

9.6. Марківський випадковий процес і ланцюги Маркова

9.7. Елементи теорії масового обслуговування

9.8. Питання для самоперевірки

У багатьох областях застосування теорії ймовірностей та математичної статистики, а особливо в економічних науках, умова незалежності випадкових змінних не відповідає дійсності, тому таке припущення значно спрощувало проблему. Складний характер економічних явищ, їх взаємообумовленість у просторі та часі призводять до того, що достатньо часто у статистичних дослідженнях вибіркова сукупність складається не із незалежних спостережень; а випадкові змінні є певним чином зв’язані.

Особливо важливі та принадні залежності між випадковими змінними, що виникають із існуючої упорядкованості та обумовленості випадкових змінних у часі. Аналіз закономірностей розподілу випадкових змінних, які певним чином залежать від реалізації інших випадкових змінних, що передують їм у часі, привело до появи такого значущого розділу теорії ймовірностей – теорії випадкових процесів.

9.1. Випадкові процеси та їх загальні поняття

Поняття випадкового процесу є узагальнення поняття випадкової функції (її значення є випадковою величиною для будь-якого значення ). Воно найбільш прийнятне тоді, коли вивчають сукупність випадкових змінних, які впорядковані у часі. Випадковим процесом називають скінченну або нескінченну послідовність випадкових змінних, що залежать від параметра (часу). Випадковий процес позначають символом . Параметр розуміється як час, і тоді значення означають дане розташування випадкових змінних у часі.

Нехай при проведенні певного експерименту вимірюють фактично прийняте значення процесом в кожний момент часу . Ці значення будуть невипадковою функцією , яка називається реалізацією випадкового процесу . Ця функція описує одну з можливих течій цього процесу – ту, що спостерігалась у даному експерименті. Якщо уявити собі незалежне повторення у незмінних умовах необмеженої множини таких експериментів, то одержимо множину реалізацій процесу, що розглядається. Таким чином, випадковий процес можна розглядати як сукупність усіх його реалізацій.

Якщо є фіксованим, то ми отримуємо переріз випадкового процесу, тобто закон розподілу випадкової величини , який називається одновимірним законом розподілу процесу . Одновимірний закон розподілу звичайно задається одновимірною функцією розподілу або одновимірною щільністю . Для процесів із дискретними розподілами усіх перерізів цей одновимірний закон розподілу задається таблицею усіх можливих значень даного перерізу із їх ймовірностями:

Нехай – набір значень аргументу . Утворимо випадковий вектор , компонентами якого є перерізи процесу , що відповідають вказаним значенням аргументу. Закон розподілу цього - вимірного вектора називається - вимірним законом розподілу процесу . Зазвичай - вимірний закон розподілу процесу задається - вимірною функцією розподілу:

або - вимірною щільністю:

.

Очевидно, що - вимірна функція розподілу та - вимірна щільність розподілу випадкового процесу залежить від параметрів , тобто моментів . Для характеристики довільного випадкового процесу необхідно задати всі - вимірні закони розподілу цього процесу.