3. Однофакторний експеримент

3.1. Види зв'язків між двома величинами

Зв'язок між вхідною та вихідною змінними, що входять у досліджувану залежність, може мати різний характер залежно від впливу випадкових збурень. У практиці трапляються такі випадки.

Функціональний, або детермінований зв'язок, коли кожному значенню вхідної величини відповідає єдине значення вихідної. При такому зв'язку впливом випадкових збурень можна знехтувати (рис.4, а). Функціональна залежність матиме вигляд

Рис.4. Види взаємозв'язку двох параметрів: a — функціональний, б — стохастнчний, в — стохастичний кореляційний, г — стохастичний скедастичний.

Стохастичний, або ймовірнісний зв'язок між двома величинами виникає, коли одна з них змінюється при зміні закону розподілу іншої. Стохастичний зв'язок (рис.4, б) буває кореляційний або скедастичний. Якщо при зміні однієї величини змінюється тільки середнє значення іншої, а дисперсія та тип закону розподілу залишаються без зміни, то виникає кореляційний зв'язок (рис.4, в) як, наприклад, при зміні налагоджувального розміру токарного автомата, зміщується положення центра розсіяння діаметра деталей. Якщо ж змінюється тільки ступінь розсіяння значень, тобто дисперсія, при незмінних середніх арифметичних, то це скедастичний зв'язок (рис.4, г), який виникає, наприклад, при прицільному падінні тіл залежно від висоти, коли зі збільшенням висоти падіння ступінь розсіяння місць падіння навколо прицільного значення зростає.

Змінні величини, що описують процеси в технологічних системах, як звичайно, зв'язані між собою стохастичними залежностями, оскільки такі системи функціонують в умовах сильної дії випадкових збурень. Елементами стохастичгіих залежностей є випадкові величини, які в процесі вимірювань набувають невідомих наперед значень. Тому дослідження технологічних систем ускладнюється необхідністю знайти залежності у чистому вигляді, відсіявши вплив випадкових збурень. Для цього використовуються загальновідомі методи математичної статистики, в основу яких покладено багаторазове повторення досліду в однакових умовах і визначення за результатами математичного очікування випадкової величини та її дисперсії.

Нехай дія вхідного факторах зумовлює реакцію об'єкта у. Повторимо разів дослід, задаючи величині одне і те ж значення. Показник у як випадкова величина набуватиме значень Математичне сподівання значення цього показника знайдемо як середнє арифметичне всіх його виміряних значень

Очевидно, що точність визначення середнього значення буде тим вища, чим більша проведена в однакових умовах кількість дослідів. Точність середнього значення випадкової величини пов'язана зі ступенем розсіяння її значень, що визначається дисперсією

При експериментальному дослідженні та побудові моделі досліджуваного процесу чи явища необхідно знайти залежність між двома величинами — вхідною та вихідною. При дослідженні реальних технологічних систем вигляд залежності між двома випадковими величинами майже завжди невідомий. У нашому розпорядженні є тільки результати певної кількості дослідів, наприклад . На графіку ця залежність між випадковими величинами матиме вигляд хмарки точок, що відповідатимуть експериментальним даним. Для побудови математичної залежності між двома змінними величинами одна з цих величин, наприклад, фактор х отримує ряд послідовних значень Кожне з цих значень називається рівнем фактора. На кожному з цих рівнів дослід повторюється декілька разів, тобто здійснюються так звані паралельні досліди. Для першого рівня, наприклад, матимемо Тоді для кожного рівня фактора знаходять середнє значення іншої змінної величини — показника , , , ... . Якщо ці значення показати на графіку та з'єднати середні значення у ламаною лінією, то утвориться емпірична лінія регресії (рис. 5). При збільшенні кількості спостережень на кожному рівні фактора та зменшенні кроку між сусідніми факторами ламана лінія починає вирівнюватись і набувати закономірного характеру. В цьому випадку зростає точність визначення дійсної залежності, яка описується теоретичною лінією регресії.

Термін регресія вказує на стохастичний зв'язок між випадковими величинами. Він належить одному із творців математичної статистики — Френсісу Гальтону. Вивчаючи статистичну залежність між зростом батьків та дітей, він шляхом добору математичної моделі з'ясував, що зріст дитини наполовину визначається зростом батьків, на чверть — зростом прадідів, на 1/8 — зростом прапрадідів і т. д. Тобто в моделі Гальтона зріст дитини визначається зростом не тільки батьків, але й більш віддалених предків. Оскільки в цій моделі здійснюється в історичному часі рух назад, то це явище було названо регресією, яка визначає рух назад, на відміну від прогресу, тобто руху вперед.

Рис.5. Емпірична (ЕЛР) і теоретична (ТЛР) лінії регресії.

Теоретичною основою визначення залежності між величинами в умовах дії випадкових збурень є кореляційний аналіз. Його методи дають змогу розв'язати дві основні задачі: визначити форму та числові коефіцієнти залежності, що зв'язує між собою параметри досліджуваного процесу чи явища; визначити, наскільки тісно зв'язані ці параметри.