5. Вдосконалення плану експерименту методами теорії подібності та аналізу розмірностей

5.1. Основи аналізу розмірностей фізичних величин

Об'єм експериментальної роботи, як було показано раніше, безпосередньо залежить від кількості досліджуваних факторів. Для зменшення кількості незалежних змінних досліджувані фактори та показники чи явища можуть бути згруповані в безрозмірні комбінації, загальна кількість яких буде менша ніж їх вихідна кількість. Методика побудови цих безрозмірних комбінацій ґрунтується на аналізі розмірностей змінних, що впливають на досліджуваний процес. Для цього змінні по­винні бути незалежні, кількісно визначувані та мати розмірність. Визначимо основні поняття аналізу розмірностей.

Розмірними називаються величини, числові значення яких залежать від прийнятих масштабів вимірювання, тобто від системи одиниць вимірювання (довжина, маса, сила, час, енергія тощо).

Безрозмірними називаються величини, числові значення яких не за­лежать від прийнятих масштабів і застосованої системи одиниць вимірювання (кут у радіанах як відношення дуги до радіуса, відношення двох довжин, відношення енергії до моменту сили тощо).

Оскільки всі змінні досліджуваного явища чи процесу як фізичні величини певним чином між собою пов'язані, то частину з цих величин приймають за основні, для них встановлюють одиниці вимірювання, а одиниці решти змінних виражають через одиниці основних. Одиниці вимірювання основних величин називають основними, а решту — похідними. Розмірність похідної одиниці визначається за допомогою рівняння, яке описує її математичний зв'язок з основними одиницями, в якому коефіцієнт пропорційності відповідає одиниці. В загальному випадку вираз для похідної одиниці являє собою добуток основних ве­личин, піднесених до певного степеня.

До основних одиниць, визначених Міжнародною системою одиниць, які використовуються в механіці, належать кілограм, метр, секунда, гра­дус Кельвіна. Символ одиниці довжини позначають L, маси — М, тем­ператури —К, часу — Т. Далі розмірність величини х будемо позначати квадратними дужками: [х]. Наприклад, одиниця швидкості визначиться таким чином:

де L, Т— відповідно розмірності одиниць довжини і часу.

Визначальним рівнянням одиниці сили є другий закон Ньютона

Розмірність одиниці роботи

В основу застосування аналізу розмірностей покладено -теорему подібності, яка формулюється таким чином:

Якщо існує однорідна відносно розмірностей залежність, що пов­ністю описує процес або явище, у такому вигляді:

яка зв'язує n фізичних величин за допомогою к основних одиниць, то ця залежність завжди може бути подана як залежність між безрозмірними комбінаціями, утвореними з цих величин,

Тут використано поняття однорідної відносно розмірностей залежності, під якою розуміють рівняння, форма якого не залежить від вибору основних одиниць вимірювання. Наприклад, запис другого закону Ньютона не залежить від вибору одиниць виміру маси рухомого тіла.