1.3. Методико-математические основы обучения младших школьников делению натуральных чисел с остатком

Проведение анализа содержания данной программы будет основано на выделению различных подходов к обучению младших школьников делению натуральных чисел с остатком.

Отталкиваясь от общего представления о делении с остатком, несложно выяснить смысл деления с остатком натуральных чисел.

Сразу скажем, что в результате деления натурального числа a на натуральное число b с остатком получаются два числа, обозначим их c и d. Теперь разберемся со смыслом, который несут в себе числа a, b, c и d, откуда будет понятен и смысл деления с остатком [32].

Нам известно, что натуральные числа связаны с количеством. Пусть натуральное число a, которое мы делим, определяет количество предметов в исходном множестве, а натуральное число d определяет количество предметов, которые остаются в исходном множестве после деления с остатком. Осталось определиться с числами b и c. Здесь возможны два варианта.

• Если натуральное число b соответствует количеству предметов в каждом из множеств, полученных после деления, то число c показывает количество полученных множеств.

• Если же натуральное число b задает количество множеств, на которые делится исходное множество, то число c определяет количество предметов в каждом из этих множеств.

Приведем пример, поясняющих смысл деления натуральных чисел с остатком. При делении натурального числа 13 на натуральное число 4 получили числа 3 и 1. Этому примеру можно сопоставить две равноправные ситуации.

• 13 предметов нужно разложить в кучки по 4 предмета в каждой. При этом получится 3 таких кучки, и в исходном множестве останется один предмет.

• 13 предметов нужно разложить в 4 кучки. При этом в каждой кучке окажется по 3 предмета, а в исходном множестве останется 1 предмет.

Следует отметить, что натуральное число a можно разделить с остатком на любое натуральное число b. При этом в зависимости значений чисел a и b могут возникнуть следующие три ситуации [7].

1. Числа a и b могут быть такими, что a делится на b без остатка. Иными словами, все предметы исходного множества могут быть разделены в требуемые множества. После этого действия в исходном множестве не останется ни одного предмета, то есть, число d будет равно нулю. (Таким образом, деление без остатка является частным случаем деления с остатком).

2. Число a может быть меньше, чем число b. В этом случае из предметов в исходном множестве не получится составить ни одного требуемого множества, то есть, число c будет равно нулю, остаток при этом будет равен числу предметов в исходном множестве, то есть, d=a.

3. Число a может делиться на число b с остатком. В этом случае все числа a, b, c и d будут натуральными числами.

Таким образом, результатом деления натуральных чисел a и b с остатком являются два числа c и d, причем числа c и d либо натуральные, либо одно из них равно нулю.

Натуральное число, которое делят, называют делимым. Натуральное число, на которое делят, называют делителем. В результате деления с остатком получаются два числа, одно из которых называют неполным частным, а другое – остатком. Например, при делении с остатком делимого 19 на делитель 5 получается неполное частное 3 и остаток 4.

Для обозначения деления с остатком используется такой же знак «разделить» вида «:», как и при делении без остатка, который записывается между делимым и делителем. Также можно встретить знак «÷», обозначающий то же самое действие. Например, запись 103:31 (такие записи называются числовыми выражениями) означает деление натурального числа 103 на натуральное число 31.

Если найдено неполное частное c и остаток d от деления числа a на число b, то применяется следующая форма краткой записи a:b=c (ост. d). Таким образом, записи деления с остатком отвечает следующая схема: делимое : делитель = неполное частное (ост. остаток) [13].

Из смысла деления с остатком понятно, что остаток всегда меньше делителя. Если бы остаток был больше делителя или равен делителю, то это бы значило, что из предметов, оставшихся в исходном множестве после деления, можно составить еще хотя бы одно требуемое множество.

Мы знаем, что результатом деления натуральных чисел с остатком являются два числа – неполное частное и остаток. Следовательно, нужно рассматривать два типа задач, решаемых при помощи деления с остатком. Ответом на первый тип задач является неполное частное, а на второй – остаток от деления. Остановимся на них подробнее.

В задачах первого типа требуется найти либо количество требуемых множеств, получающихся из имеющегося количества предметов в исходном множестве, либо количество предметов в множествах, полученных после деления. Приведем примеры [19].

К новому году было сделано 67 елочных игрушек. На каждую елку было решено повесить по 15 игрушек. Неполное частное от деления 67 на 15 позывает, какое количество елок можно нарядить.

Имеется 162 детали и 40 коробок, в которые эти детали раскладываются так, что в каждой коробке оказывается одинаковое количество деталей. Неполное частное от деления 162 на 40 определяет количество деталей в каждой коробке.

Следует сказать, что вместо количества каких-либо предметов речь в задачах может идти о каких-либо величинах (единицах измерения времени, массы, длины, площади и т.п.). Для примера приведем условия таких задач.

Квас на заводе разливается в двухлитровые бутылки. Было произведено 5 111 литров кваса. Если разделить 5 111 на 2, то неполное частное покажет, какое количество бутылок кваса изготовлено.

Рабочему на установку одного комплекта оборудования требуется 3 часа, а его рабочий день длится 8 часов. Неполное частное от деления натурального числа 8 на натуральное число 3 определяет количество установленных комплектов оборудования этим рабочим за его рабочий день.

В задачах второго типа, решаемых с помощью деления с остатком, требуется найти количество предметов, которые остаются в исходном множестве после деления. Конечно же вместо количества предметов могут быть также значения каких-либо величин. Приведем примеры.

Всего есть 193 конфеты, которые укладываются в коробки, причем в каждую коробку помещается строго определенное количество конфет. После раскладывания было получено 20 коробок с конфетами. Остаток от деления 193 на 20 покажет, сколько конфет останется не уложенными в коробки.

На изготовление одной бетонной плиты требуется 750 килограмм цемента. Было куплено 12 100 кг цемента. Остаток от деления 12 100 на 750 укажет, сколько цемента останется не израсходованным при производстве указанных плит.

Найти неполное частное и остаток от деления натуральных чисел можно, выполняя последовательное вычитание делителя [21].

Суть этого подхода проста: из элементов имеющегося множества последовательно формируются множества с требуемым количеством элементов до того момента, пока это возможно, количество полученных множеств дает неполное частное, а количество оставшихся элементов в исходном множестве – остаток от деления.

Деление с остатком изучается во втором классе, после завершения работы над внетабличными случаями умножения и деления в рамках системы и программы обучения М. И. Моро [1]. Здесь рассматриваются только такие случаи деления с остатком, которые сводятся к табличному делению.

Не всегда можно полностью разделить одно число на другое. В примерах на деление может оставаться остаток. Такое деление называется деление с остатком.

Деление с остатком — это деление одного натурального числа на другое, при котором остаток не равен нулю.

Если при делении натуральных чисел остаток равен нулю, то говорят, что делимое делится на делитель без остатка, или, иначе говоря, делится нацело

Задачи изучения темы

1.Раскрыть конкретный смысл деления с остатком.

2. Познакомить с соотношением остатка и делителя.

3. Познакомить с приемами и алгоритмом деления с остатком, научить их применять на практике.

4. Научить проверять правильность решения примеров на деление с остатком.

Значение темы

1. Расширяет и углубляет знания учащихся о делении, поскольку деление с остатком встречается чаще, чем деление без остатка.

2. Создает новые условия для применения навыков табличного умножения и деления.

3. Подготавливает к изучению приемов письменного деления.

4. Способствует формированию навыков самоконтроля.

Подготовка к изучению темы

В школе большое внимание должно быть уделено подготовительной работе. К ней относится:

- повторение табличного деления;

- решение простых задач на деление по содержанию и деление на равные части;

- выполнение заданий, в которых из ряда предложенных чисел нужно выбрать те числа, которые делятся на заданное число, например:

а) среди чисел от 1 до 20 назови те, которые делятся на 2 (на 3, на 4 и т.д.);

б) делится ли на 3 число 10? 12? 14? 18?;

в) назови число, ближайшее к 16, которое делится на 3;

г) назови по порядку все числа, которые получаются при умножении однозначных чисел на 6, 7.