Задачи по дискретным случайным величинам
Задача 1
На полке из 6 книг, из них 3 книги по математике и 3 по физике. Наудачу выбирают 3 книги. Найти распределение числа книг по математике среди выбранных книг. Найти математическое ожидание этой случайной величины Х, где X – число книг по математике.
Решение:
При выборке книг – книг по математике может быть: 0, 1, 2, 3
Посчитаем вероятности:
-
x
2
p
Задача 2
В партии из 25 изделий, из них 6 бракованных. Для контроля их качества случайным образом отбирают четыре изделия. Найти распределение дискретной случайной величины Х, где X – число бракованных изделий, ее функцию распределения, вычислить математическое ожидание и дисперсию.
Решение:
При выборке изделий –бракованных изделий может быть: 0, 1, 2, 3, 4
Посчитаем вероятности:
-
x
2
p
Задача 3
Пусть имеется следующее распределение ДСВ X.
-
x
20
p
Требуется найти математическое ожидание и дисперсию ДСВ X.
Решение:
Непрерывные случайные величины. Функция распределения непрерывных случайных величин. Плотность распределения, математическое ожидание и дисперсия непрерывных случайных величин
Определение: Случайная величина X – непрерывная (НСВ), если множество её возможных значений представляет собой сплошной числовой промежуток.
Примеры НСВ:
Точка M наудачу бросается на отрезок [0..2]. Пусть x – получившаяся координата точки M. Множество возможных значений [0..2]
Точка M наудачу бросается в круг радиуса 2. Пусть r – некое получившееся расстояние от M до центра окружности в точке O. Множество возможных значений величины r [0..2].
Посадили семя берёзы. Пусть H – какова будет высота берёзы, когда рост закончится. Множество возможных значений H [0..20].
Теорема: Вероятность того, что непрерывная величина X примет какое-либо заранее заданное значение равна 0.
Равномерные и неравномерные случайные величины
Распределение непрерывной случайной величины X может быть равномерным и неравномерным.
Определение: Будем
говорить, что НСВ X
равномерно распределена на промежутке
H,
если из равенства длин следует равенство
вероятностей (т.е. если длина участка
равна длине участка
,
то
).
Обозначение:
Примечание: Фраза «точка x наудачу брошена на промежуток H» будет означать, что величина X равномерно распределена на промежутке H.
Определение: Будем
говорить, что НСВ X
неравномерно распределена на промежутке
H,
если из равенства длин не следует
равенство вероятностей (т.е. может быть
так, что длина участка
равна длине участка
,
а
).
Обозначение:
Примечание:
Равномерное распределение на заданном промежутке H – одно определённое распределение;
Неравномерных распределений на заданном промежутке H очень много.
Рассмотрим величины из примеров, рассмотренных ранее.
Точка M наудачу бросается на отрезок [0, 2]. Пусть X – получившаяся координата точки M. Множество возможных значений [0, 2]
Точка M наудачу бросается в круг радиуса 2. Пусть r – некое получившееся расстояние от M до центра окружности в точке O. Множество возможных значений величины r [0, 2].
([0..2])
Примечание:
Пусть НСВ X –
.
Пусть от этой величины берётся некоторая
функция. Пусть
– функция от СВ.
Вопрос:
Верно ли что величина
?
Ответ:
Если функция
– линейная, т.е. вида
,
то да, иначе – нет.
Например:
,
Сумма двух независимых равномерных величин уже не будет равномерной.
Теорема:
Пусть НСВ
и пусть Δ – некоторый участок на
промежутке H,
тогда имеет место следующая формула:
.
Примечание: Если
НСВ X
(H),
то эту формулу применять нельзя.
Пример: Точка
x
наудачу бросается на отрезок [0, 10].
Решение:
Пример: Точка
наудачу бросается на отрезок [4, 36].
.
Решение:
.
Определение: Пусть имеется координатная плоскость XY и имеется некоторая фигура H. Пусть точка M – случайная точка внутри фигуры H. Будем говорить, что точка M равномерно распределена в плоской фигуре H.
Обозначение:
.
Если из равенства
площадей следует равенство вероятностей
(т.е. если
=
,
то
).
Примечание: Если же из равенства площадей не следует равенство вероятностей, то в таком случае говорят, что точка M неравномерно распределена в фигуре H.
Примечание: Фраза «точка наудачу бросается в фигуру H» будет означать, что точка M равномерно распределена в фигуре H.
Теорема: Пусть
точка M
равномерно распределена в фигуре H.
Пусть Δ – некоторый участок в фигуре
H,
тогда имеет место следующая формула:
Пример:
Точка M
наудачу бросается в квадрат ABCD
со стороной 6. Пусть E
– середина BC,
F
– середина AB,
O
– центр квадрата. Найти
.
Решение:
,
следовательно,
Функция плотности Непрерывной случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины
Определение: Пусть
X
– НСВ. Её функцией плотности называется
функция:
Пусть X
–
.
Пусть
– полная длина всего отрезка значений,
тогда
Примечание: В тех местах, где плотность больше, там величина распределена гуще; а в тех местах, где плотность меньше – там величина распределена разреженнее.
Где величина равна
0, там
Свойства функции плотности:
.
Но в отличии от вероятности плотность
может быть больше 1.
;
Вероятность того, что X примет конкретное значение при
численно равно 0. 0 здесь – бесконечно
малая величина.Теорема:
Это площадь криволинейной трапеции.
Теорема: Если
НСВ X
– величина, равномерно распределённая
на отрезке H,
то для
(для x
из промежутка H).
Пример:
Пусть НСВ X
.
Запишем её функцию плотности.
Пример:
Пусть НСВ X
распределена на отрезке [0,3] и пусть
задана её функция плотности
(т.к.
)
Найти
Найти
Найти
Теорема: Пусть X – НСВ.
Её математическое ожидание считается по формуле:
Пусть
– некоторая функция от величины x,
тогда
Пример:
Пусть НСВ X
распределена на отрезке [0, 2] и известна
её функция плотности:
.
Найти:
(дисперсия)
Интегральная функция распределения непрерывной случайной величины
Определение:
Пусть X
– НСВ. Интегральной функцией распределения
величины X
называется функция
,
определяющая для каждого числа x
вероятность того, что величина X
будет меньше этого числа x.
Например:
Свойства интегральной функции распределения:
определена на всей числовой прямой
– непрерывная
может принимать значения от 0 до 1, т.к. – это вероятность некоторого события
Если
Пример:
.
Требуется
записать её интегральную функцию
распределения. Решение:
Три случая:
Если
Если
Если
Допустим, x=2,5,
тогда т.к.
,
следовательно,
Ответ:
Теорема: Пусть
X
– НСВ,
– её функция плотности,
– её интегральная функция распределения,
тогда между функциями
и
имеет место следующее соотношение:
Пример: Пусть
и задана её
функция интегральная функция распределения
.
Требуется
записать её функцию плотности.
Решение:
Теорема: Пусть
X
– НСВ и пусть
– её интегральная функция распределения,
тогда
Пример: НСВ
X
задана своей интегральной функцией
распределения:
.
Найти
Решение:
