4.3. Построение Парето-эффективной границы

Парето-оптимальность некоторого исхода означает, что он не мо­жет быть улучшен ни по одному из критериев без ухудшения по ка­кому-либо другому критерию.

Пусть совокупность функций F = {f₁..., f_m} осуществляет ото­бражение множества допустимых решений D на множестве Y R_m . Подмножество Y называется эффективной границей (множест­вом точек, оптимальных по Парето), если для любого вектора у не существует вектора X, который доминирует вектор F^-1(у).

Для наглядного представления доминирования по Парето и Парето-оптимальности рассмотрим случай двух позитивных критериев f₁ и f₂. Критерий f_j называется позитивным, если лицо, принимающее решение, стремится к его увеличению, и негативным, если ЛПР стре­мится к его уменьшению.

Векторные оценки исходов представим точками координатной плоскости Of₁f₂ (рис. 4.2).

На рис. 4.2 изображено множество допустимых исходов для дис­кретного случая. Здесь Парето-оптимальными являются исходы (4, 5, 7, 8). При этом каждый исход, не являющийся Парето-оптимальным, доминируется по Парето некоторым Парето-оптимальным исходом, не обязательно одним (например, 6 5, 6 7, 10 7, 10 5 (по Парето) и т.д.).

В случае когда множество допустимых исходов является непрерывным, их векторные оценки «заполняют» некоторую область Q на плоскости (рис. 4.3).

В этом случае множество Парето-оптимальных исходов (полужирная линия γ на рис. 4.3) представляет собой часть границы Q, точнее, ее «северо-восточную» часть, так как целью ЛПР при позитивных критериях f₁, f₂ является увеличение их значений, что соответствует движению внутри области Q вправо и вверх.

Замечания. 1. Область, изображенная на рис. 4.3, является выпуклой, т.е. вместе с любыми двумя своими точками она содержит весь соединяющий их отрезок. В случае невыпуклой области ее Парето-оптимальная граница может иметь более «экзотический» вид (на­пример, состоять из отдельных линий и (или) точек).

Пример такой Парето-оптимальной границы представлен на рис. 4.4.

2. Предположим, что в задаче принятия решения имеются крите­рии разного характера. Пусть, например, f₁ — негативный, а f₂ — по­зитивный критерий. Тогда целью ЛПР будет уменьшение критерия f₁ и увеличение критерия f₂, что соответствует движению на координат­ной плоскости «влево и вверх». В этом случае Парето-оптимальная граница области Q представляет собой ее «северо-западную» часть (рис. 4.5).

Для позитивных критериев f₁, f₂ некоторую ломаную ABC (рис. 4.6) можно принять за множество, оптимальное по Парето, если для любой точки К этой ломаной построенный в ней «уголок» пересе­кается с множеством точек ломаной только в точке К.

4.4. Процедуры решения многокритериальных задач

Рассмотренные примеры показывают, что в типичных случаях Па-рето-оптимальных (эффективных) исходов может быть несколько, а в непрерывном случае — бесконечное множество. Невозможно дать однозначный ответ на вопрос, какой из эффективных исходов следует считать оптимальным для общего случая. Нужно иметь в виду, что любые два эффективных исхода несравнимы относительно доминиро­вания по Парето.

В самом деле, если для двух исходов (a, ) D выполняется усло­вие > а (по Парето), то исход а не может быть Парето-оптимальным. Если нет информации об относительной важности кри­териев f₁ и f₂, то рациональный выбор между а₁ и а₂ сделать невоз­можно. (Отметим, что нельзя сделать рациональный выбор и в такой ситуации, когда, например, имеется 10 критериев, причем а₁ лучше а₂ по одному критерию, но хуже по девяти остальным. Понятно, что в некоторых реальных случаях превосходство по одному критерию мо­жет «перевесить» превосходство по всем остальным.)

Методика исследования задач принятия решений для многокрите­риального случая может быть связана с различными подходами.

Первый вариант. Для заданной многокритериальной зада­чи нахождения решения (ЗНР) находится множество ее эффективных решений, а выбор конкретного решения из множества Парето-оптимальных решений предоставляется ЛПР.

Второй вариант. Производится сужение множества Парето-оптимальных исходов (в идеале — до одного элемента) с помощью некоторых формализованных процедур, что облегчает окончательный выбор исхода для ЛПР. Это сужение может быть произведено при наличии дополнительной информации о критериях или свойствах эф­фективного решения.

Рассмотрим данный подход подробней. Будем считать, что много­критериальная ЗНР задана в виде

(D; f₁,…,f_m),

где f₁ - позитивные критерии, j = 1, т.

При указании нижних границ критериев дополнительная инфор­мация имеет вид:

f_j (a*) ≥ γ_j,

где γ_j - нижняя граница по j-му критерию;

а* — оптимальный исход, а* D .

Очевидно, что при увеличении значений у_j, j = 1,m, Парето-оптимальное множество «сокращается». Пример, представленный на рис. 4.7, демонстрирует это обстоятельство для случая двухкритериальной задачи с критериями f₁ и f₂.

На рис 4.7 точками отмечены концы М, N Парето-оптимальной границы области Q. Участок АВ, например, соответствует двум требованиям: f₁ (а*) > у"₁, f₂ (а*) > у"₂. Основной недостаток данного метода заключается в том, что эффективное решение здесь субъективно, так как зависит от величины нижних границ критериев, а также предпоч­тений ЛПР.

Субоптимизация

При субоптимизации выделяют один из критериев, а по всем ос­тальным назначают нижние границы. Оптимальным при этом считается исход, максимизирующий выделенный критерий на множестве исхо­дов, оценки которых: по остальным критериям не ниже назначенных.

Пусть, например, f₁ — выделенный критерий, а γ_j — нижняя гра­ница для j-гo критерия, где j = 2, т. Тогда оптимальным считается тот исход а* D, на котором достигается максимум функции f₁, рас­сматриваемой на множестве D₁ = {а D: f₁(a) > γ_j (j = 2,т)}.

Возьмем, например, для ЗНР, представленной на рис. 4.6, в качестве выделенного критерия f₁, а в качестве нижней границы по критерию f₂ — величину γ'₂. Тогда оптимальное решение соответствует точке пересе­чения горизонтальной прямой, проведенной через γ'₂, с Парето-оптимальной границей. Очевидно, что при увеличении нижней границы критерия f₂ максимум функции f₁ уменьшается (не увеличивается).

С помощью метода субоптимизации задача многокритериальной оптимизации превращается в задачу «обычной» оптимизации на су­женном допустимом множестве. Окончательное решение здесь также имеет субъективный характер.

Лексикографическая оптимизация

Лексикографическая оптимизация основана на упорядочении кри­териев по их относительной важности. Далее процедура развивается по шагам. На первом шаге отбираются исходы, которые имеют мак­симальную оценку по важнейшему критерию.

Если такой исход единственный, то его и считают оптимальным. Если же таких исходов несколько, то среди них отбирают те, которые имеют максимальную оценку по критерию, следующему за важней­шим, и т.д. К недостаткам данного метода следует отнести следующее:

1) трудности в установлении упорядоченности критериев по их относительной важности;

2) фактически принимается во внимание только первый важней­ший критерий (например, следующий за ним по важности критерий учитывается только тогда, когда первый достигает максимума на не­скольких исходах);

3) в результате лексикографической процедуры не всегда опреде­ляется единственный исход.

Метод обобщенного критерия

Весьма важен метод обобщенного критерия — процедура, которая «синтезирует» набор оценок по заданным критериям, называемых ча­стными или локальными, в единую численную оценку, выражающую итоговую полезность для ЛПР данного набора оценок. Таким образом, задание обобщенного критерия сводит задачу многокритериальной оптимизации к задаче однокритериальной оптимизации с целевой функцией f.

Наиболее распространенным обобщенным критерием является взвешенная сумма частных критериев, которая превращает вектор­ную оценку у = (у₁,…у_m) в скалярную оценку

φ(y) = a₁y₁ +... + а_mу_m, а_j ≥ 0, j = 1, т

(иногда требуют, чтобы = 1).

Числа а_j - называют весовыми коэффициентами. Весовой коэффи­циент а_j интерпретируется как «показатель относительной важности» j-го критерия, т.е. чем больше а_j, тем больший «вклад» вносит оценка по j-му критерию в итоговую оценку φ(у).

Теорема 4.1. Пусть Q Y- произвольное множество векторных оценок. Если векторная оценка у =(у₁ ,… у_m ) доставляет максимум функции φ(y) = ; где все > 0, то векторная оценка у является Парето-оптимальной на множестве Q.

Доказательство. Предположим противное, т.е. то, что существует векторная оценка у' = (у'₁,… у'_т) Q, которая доминиру­ет по Парето векторную оценку у^*. Тогда при всех j = 1, т выполня­ется неравенство у'_j ≥ у_j , причем хотя бы для одного индекса j нера­венство выполняется как строгое. Умножая эти неравенства на а_j, суммируя их по j = 1,т и учитывая, что все а_j > 0, получаем:

т.е. φ(y) > φ(y^.), что противоречит условию теоремы.

Замечание. Обратное утверждение справедливо не всегда. Например, в случае выпуклости множества Q можно доказать лишь, что векторная оценка у^., Парето-оптимальная на множестве Q, доставляет максимум функции φ(y) = , с некоторым вектором неотрицательных весов a_j > 0 .

Метод перехода от нескольких критериев f₁… f_m к одному, за­даваемому новой функцией φ = , называется также сверткой.

Если в качестве выступают объемы выпуска продукции разного вида и

ЛПР стремится к увеличению каждого показателя , то в качестве a_j могут выступать просто цены продуктов, а свертка будет означать переход от натуральных к одному стоимостному показателю.

Нередко выбор весов (а_j) является достаточно сложной задачей, для решения которой используют экспертные оценки, а также методы параметрического программирования.

Следует отметить, что критерии f_j могут быть разнородными, поэтому обычно свертке предшествует нормировка. Один из ее вари­антов состоит в том, что для каждого критерия находится макси­мальное значение ⁺ из области допустимых значений и минималь­ное значение ^- на множестве Парето-оптимальных решений. После этого каждая функция заменяется на по следующему правилу:

Если все являются линейными функциями, то после преобра­зования и нормировки все будут также линейными функциями.

Если веса нормированы, т.е. = 1, а_j > 0, j = 1, т , то свертка φ = принимает значения на отрезке [0,1].

Метод параметрического программирования

Пример 4.2. Рассмотрим пример оценки весов (а_j) с помощью метода параметрического программирования:

Z₁ (х) = -4х₁ + 6х₂ → max,

Z₂(x) = 2х₁ + x₂ → max,

- х₁ + х₂ ≤ 3,

х₂ ≤ 5,

х₁ + х₂ ≤ 10,

х₁ ≤ 8,

х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0.

Решение. Пусть используется свертка без нормировки:

Z = a₁Z₁ + a₂Z₂ → max .

Если для весов выполняется нормировка =1, то можно записать:

Z = a₁Z₁ +(l – a₁)Z₂ = (2 - 6a₁)x₁ +(l + 3a₁)x₂ → max.

Результаты исследования зависимости решения (х₁, х₂) от выбора веса а_j с помощью метода параметрического программирования представлены в табл. 4.1.

Таблица 4.1

а1	х1(а1)	х2(а1)
0< а1 < 1/11	8	2
а1 = 1/11	8λ + 5(1 - λ)	2λ + 5(1 - λ)
1/11 < а1 < 1/3	5	5
а1 = 1/3	5λ + 2(1 - λ)	5
1/3 < а1 < 1	2	5

Из табл. 4.1 видно, что достаточно лишь грубо оценить, в какой области лежит а₁: а₁ (0, 1/11) или а₁ (1/11;1/3), или а₁ (1/3;1), поскольку точное значение а₁ внутри какой-либо из указанных об­ластей не оказывает влияния на значения х₁, х₂.

Метод «идеальной точки»

Пример 4.3. Рассмотрим задачу производственного планирова­ния и метод «идеальной точки».

Для выпуска двух видов продукции Р₁ и Р₂ используются три вида ресурсов (R₁, R₂, R₃), которые можно приобрести в количестве не бо­лее 20, 15 и 39 единиц соответственно.

Задана матрица А, элементы которой показывают нормы расхода ресурсов на выпуск единицы продукции каждого вида:

12

А= 11

31

Известны также цены продуктов: С₁ = 17 руб., С₂ = 12 руб. за еди­ницу продукции соответствующего вида; цены ресурсов: q₁ = 1 руб., q₂ = 1 руб., q₃ = 4 руб. за единицу ресурса соответствующего вида.

При оценке различных вариантов плана используются три показа­теля:

Z₁ — общий объем выпускаемой продукции (в денежном выражении);

Z₂ — общий объем прибыли;

Z₃ — отношение прибыли к затратам на приобретение ресурсов.

Для формализации задачи введем переменные х₁ и х₂, которые оз­начают планируемые объемы выпуска продукции Р₁ и Р₂. Соответст­венно имеем:

х ₁+ 2х₂ ≤ 20,

х₁ + х₂ ≤ 15,

3х₁ + х₂ ≤ 39,

х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0.

Область, определяемая этими ограничениями, представляет собой выпуклый многоугольник с вершинами в точках О (0, 0), А(0, 10), B(10,5), С(12,3), D(13,0).

Введем три целевые функции:

Z₁ = 17х₁ + 12х₂ → max ,

Z₂ = 3х₁ + 5x₂ → max,

Z₃ = (3х₁ + 5x₂) / (14x₁+7x₂) → max.

В табл. 4.2 приведены значения целевых функций в вершинах об­ласти допустимых решений.

Таблица 4.2

Вершина Показатель	А(0, 10)	В(10, 5)	С(12, 3)	D(13, 0)
Z1	120	220	228	208
Z2	50	55	51	39
Z3	50/70	55/175	51/189	89/182

Из табл. 4.2 видно, что если ориентироваться на общий объем про­дукции (критерий Z₁), то оптимальным будет решение x₁ = 12, х₂ = 3 (точка С). Если в качестве основного критерия использовать показа­тель прибыли (критерий Z₂), то оптимальным решением будет x₁ = 10, х₂ = 5 (точка В). По критерию Z₃ наилучшим является решение x₁ = 0, х₂ = 10 (точка А).

Выбор конкретного плана (точки х = (х₁, х₂)) на границе (А, В, С) области допустимых значений зависит от значимости показателей Z₁, Z₂, Z₃ для ЛПР.

Метод «идеальной точки» состоит в том, что ЛПР указывает об­щий принцип — найти такое решение х, при котором значения f_J(х) как можно меньше отклоняются от оптимальных соответствующих показателей f_j*. При выборе конкретного варианта реализации дан­ного принципа следует соблюдать осторожность. Допустим, что в ус­ловиях предыдущего примера ЛПР учитывает только критерии Z₁ и Z₂. Из табл. 4.2 следует, что Z*₁ = 228, Z*₂ = 55. Для любого допусти­мого плана X расстояние от (Z₂(x), Z₂(x)) до «идеальной точки» (Z*₁, Z*₂) = (228, 55) можно оценивать несколькими способами, кото­рые с точки зрения ЛПР могут оказаться далеко не эквивалентными.

Способ 1.

р (| Z₁ (х), Z₂ (х) |, Z₁*, Z₂* |) = | Z₁ (х) –Z₁*| + |Z₂ (х) - Z₂*|.

Имеем

Z,(x)<Z*, Z₂(x)<Z₂,

следовательно, возможно следующее преобразование:

р(| Z, (х), Z₂ (х) |, | Z*, Z₂* |) = 228 + 55 — Z, (х) - Z₂ (х) =

= 283 – Z₁(х) – Z₂(х) → min.

Очевидно, что это эквивалентно

L(Z) = Z₁(х) + Z₂(х) → max.

Таким образом, при оценке отклонений от «идеальной точки» с помощью обычных модулей многокритериальная задача сводится к однокритериальной задаче на максимум обычной суммы частных критериев, что может не соответствовать представлениям ЛПР.

Способ 2.

р (| Z₁(х), Z₂ (х) |, | Z*₁ Z₂* |) = → min.

При таком выборе расстояния многокритериальная задача с линей­ными целевыми функциями сводится к однокритериальной задаче с квадратичной целевой функцией и линейными ограничениями, которая может быть решена одним из методов квадратичного программирования.

Метод последовательных уступок

Метод последовательных уступок решения многокритериальных задач применяется в том случае, когда частные критерии упорядочены в порядке убывания важности.

Предположим, что все критерии позитивны и упорядочены. Нахо­дим максимальное значение Z*₁ первого по важности критерия в об­ласти допустимых решений, решив задачу:

Z₁( ) → max; х Q .

Затем исходя из практических соображений и принятой точности назначается величина допустимого отклонения δ₁ > 0 критерия Z₁ и находится максимальное значение второго критерия Z₂ при условии, что значение первого должно отклоняться от максимального не более чем на величину допустимой уступки, т.е. решается задача вида

Z₂ ( ) → max,

Z₁ ( ) ≥ Z*₁ – δ₁.

Снова назначается величина уступки δ₂ > 0 по второму критерию, которая вместе с первой используется при нахождении условного экс­тремума третьего частного критерия, и т.д. Наконец, выявляется экс­тремальное значение последнего по важности критерия Z_m при условии, что значение каждого из первых т - 1 частных критериев отличается от экстремального не более чем на величину допустимой уступки. Полу­ченное на последнем этапе решение считается оптимальным. Заметим, что этот метод не всегда приводит к эффективному решению.

Пример 4.4. Решить задачу методом последовательных уступок:

Z₁ = -х₁ + 2х₂ → max,

Z₂ = 2х₁ + х, → max,

Z₃ = х₁ - 3х₂ → max,

х₁ + х₂ ≤ 6,

1 ≤ х₁ ≤ 3,

1 ≤ x₂ ≤ 4,

х₁ ≥ 0.

Решение. Будем считать, что допустимые уступки по первым двум критериям равны δ₁ = 3 , δ₂ = 5 /3.

Максимизируем функцию Z₁ что легко сделать графически (рис. 4.8).

Получаем х^*₁ = 1, х₂^* = 4, Z*₁ = Z₁^max = Z₁(A) = 7 . Переходим к мак­симизации Z₂ при условиях х₁ + х₂ ≤ 6; 1 ≤ х₁ ≤ 3; 1 ≤ х₂ ≤ 4 и допол­нительном ограничении, позволяющем учесть, что по критерию Z нельзя уступить более чем на 3. Так как Z₁* - δ₁ = 4, то дополнитель­ное ограничение имеет вид:

-х₁ + 2х₂ ≥ 4 .

Решаем задачу:

Z₂ = 2х₁ + х₂ → max,

х₁ +х₂ ≤ 6,

1 ≤ х₁ ≤ 3,

1≤ х₂ ≤ 4,

-х₁ + 2х₂ ≥ 4.

Решая графически эту задачу, получаем оптимальную точку 5(8/3, 10/3), Z₂^max = Z₂* =Z₂(B) = 26/3 (рис. 4.9).

Теперь уступаем по критерию Z₂ на δ₂, получаем второе дополни­тельное ограничение 2х₁ + х₂ ≥ 7.

Максимизируем Z₃, решая следующую задачу:

Z₃ = х₁ - 3х₂ → max,

х₁ + х₂ ≤ 6,

1≤ х₁ ≤ 3,

1 ≤ х₂ ≤ 4,

-х₁ + 2х₂ ≥ 4,

2х₁ + х₂ ≥ 7.

Из рис. 4.10 представлено графическое решение данной задачи.

Координаты точки С: х₁ = 2, х₂ = 3. Эти значения и есть решение трехкритериальной задачи, полученное методом последовательных уступок.

Вопросы и задачи

Чем отличается задача многокритериальной оптимизации от об­щей задачи математического программирования?

Что является оценкой допустимого решения в задаче многокрите­риальной оптимизации?

Объясните смысл понятия доминирования по Парето.

Какие решения задачи многокритериальной оптимизации назы­ваются оптимальными по Парето?

Инвестор рассматривает четыре инвестиционные операции со слу­чайными эффективностями, которые описываются случайными ве­личинами Е₁, Е₂, Е₃, Е₄ с известными рядами распределения:

(0, 1/2) (2, 1/4) (4, 1/8) (16, 1/8);

(2,1/2) (4,1/4) (6,1/8) (18,1/8);

(0, 1/4) (4, 1/4) (6, 1/3) (12, 1/6);

(2, 1/4) (6, 1/4) (8, 1/3) (14, 1/6).

Определите, какие из этих операций оптимальны по Парето.

Объясните, почему независимо от предпочтений лица, прини­мающего решение, лучшим может быть признано только реше­ние, оптимальное по Парето.

Чем отличается оптимальность решений по Парето и по Слейтеру?

Найдите эффективные и слабоэффективные решения для задачи (4.2).

Что представляет собой множество Парето-оптимальных исходов, если множество допустимых исходов является непрерывным?

Как выглядит Парето-оптимальная граница для двух негативных критериев, если допустимая область имеет вид, изображенный на рис. 4.5?

Решите задачу (4.3) для свертки всех критериев с равными весо­выми коэффициентами.

В чем смысл нормировки критериев, проводимой перед их сверткой?

Решите задачу (4.2) методом идеальной точки, если в качестве расстояния взять обычное расстояние R².

Решите задачу (4.2) методом последовательных уступок, считая, что критерии упорядочены в порядке убывания важности, причем величина уступки по первому критерию равна 20.

Постройте область компромисса в задаче двухкритериальной оп­тимизации:

Z₁ = (2х₁ + 3х₂) → max,

Z₂ = (х₁ - 2х₂) → max,

х₁ - 2х₂ ≤ 1,

х₁ + х₂ ≥ 1,

-х₁ + х₂ ≤ 1,

0 ≤ х₁ ≤ 3,

0 ≤ х₂ ≤ 2.

Методом последовательных уступок решите задачу трехкритери­альной оптимизации:

a) Z₁ = (2х₁ + 3х₂) → max,

Z₂ = (2х₁ – х₂) → max,

Z₃ = х₂ → min,

δ₁ = 9, δ₂ = 3, -2x₁ + x₂ ≤ 2, 2x₁ - x₂ ≤ 5, 1 ≤ x₁ ≤ 4, 1 ≤ x₂ ≤ 6;

б) Z₁ = х₁ → max, Z₂ = (х₁ + x₂) → max, Z₃ = (x₁ + 2x₂) → max, δ₁ =5, δ₂ = 1,

x₁ + x₂ ≤ 6, x₂ ≤ 3, x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0.