4.2. Эффективные решения многокритериальных задач. Различные виды эффективности

Основная сложность анализа многокритериальных задач состоит в том, что в них проявляется эффект несравнимости решений. В даль­нейшем допустимые решения многокритериальных задач будем также называть исходами. На практике задача сравнения различных исходов обычно ставится следующим образом: среди всех допустимых реше­ний выбрать одно наилучшее. При этом при наличии нескольких кри­териев разные люди вкладывают в понятие «наилучшее решение» различный смысл. Если одно из двух рассматриваемых возможных решений лучше по одному из используемых критериев, а второе — по другому критерию, то в различных ситуациях лучшими могут быть признаны разные решения. Такие решения называются несравнимы­ми. Выбор лучшего из них зависит не только от конкретных условий задачи, но и от предпочтений лица, принимающего решения (ЛПР).

Однако иногда можно сравнивать по качеству некоторые исходы, удовлетворяющие наложенным ограничениям независимо от пред­почтений ЛПР. Например, если одно из двух возможных решений лучше другого по всем рассматриваемым критериям, то ему, конечно, следует отдать предпочтение.

Математически отношения между объектами, когда некоторые из них можно сравнивать, а некоторые несравнимы, называются отно­шениями частичного порядка или отношениями строго частичного порядка. При этом отношение имеет некоторые естественные свойст­ва. В задаче многокритериальной оптимизации (4.1.1) на множестве D допустимых решений можно ввести отношение строго частичного порядка.

Итак, пусть х, у — два допустимых решения задачи (4.1.1), т.е. х D y D. Будем говорить, что х строго предпочтительнее у, если решение х лучше решения у по всем критериям. Такое отноше­ние строгого предпочтения на множестве D будем записывать сле­дующим образом: х у строго.

Если считать, что все целевые функции задачи (4.1.1) максимизи­руются, то: х у строго, если для всякого i = 1, 2,…п f_i(x) > f_i(y).

Отношение строгого предпочтения можно ослабить: будем гово­рить, что допустимое решение х доминирует допустимое решение у, если х не хуже у по всем критериям и строго лучше хотя бы по од­ному из них. Такое отношение будем обозначать следующим образом: х у. В случае максимизируемых целевых функций х у означает, что выполнены два условия:

1) для всякого i = 1,2,..., п справедливо неравенство f_i(x) ≥ f_i(y)

2) существует j, такое, что f_j (х) > f_j (у).

Отношение доминирования, введенное на множестве допустимых решений D, называется также доминированием по Парето. Оно от­ражает совершенно естественный взгляд на сравнение различных ис­ходов по нескольким критериям, как, впрочем, и отношение строгого предпочтения, введенное до этого.

Таким образом, на множестве D допустимых решений задачи (4.1.1) введены два различных отношения: 1) строгого предпочте­ния и 2) доминирования по Парето. С практической точки зрения каж­дое из них имеет свои преимущества и недостатки. Отношение стро­гого предпочтения является бесспорным, однако слишком много объ­ектов оказываются несравнимыми. Поэтому отношение доминирова­ния по Парето получило большее распространение в экономических исследованиях.

Поясним суть двух рассматриваемых отношений на примере зада­чи (4.1.2). Рассмотрим два допустимых решения этой задачи: х = (5; 10) и у = (10; 5). Значения целевых функций для этих решений соответственно равны:

z₁(x) = l20, z₂(x) = 15;

z₁(y) = 90, z₂(x) = 15.

Решения x и у равнозначны по второму критерию, но х пред­почтительнее по первому критерию. Поэтому нельзя сказать, какое решение является строго предпочтительным. Если использовать от­ношение строгой предпочтительности, то исходы х и у несравнимы.

Однако исход х доминирует исход у по Парето.

Как уже говорилось, на практике обычно требуется выбрать луч­шее решение, причем существенная (если не самая главная) часть за­дачи — определить смысл, вкладываемый в данное понятие. Однако часто задачу можно значительно упростить, если уменьшить количе­ство рассматриваемых исходов.

Действительно, если имеются два допустимых решения х и у, причем х предпочтительнее у, то решение у не может быть лучшим среди всех допустимых решений, потому что х лучше него. Поэтому при выборе наилучшего решения множество допустимых решений можно уменьшить, отбросив те из них, для которых найдется более предпочтительный по какому-либо введенному отношению строгого порядка исход. В результате в рассмотрении останется такая совокуп­ность исходов, в которой любые два исхода несравнимы. Подобное представление об уменьшении рассматриваемого множества решений лежит в основе понятия эффективного решения. И поскольку на мно­жестве допустимых решений введено два различных отношения стро­гого частичного порядка, то можно ввести два различных понятия эффективного решения.

Рассмотрим задачу (4.1.1). Допустимое решение х D называется эффективным, если не существует у, такого, что у х , т.е. для любого у D не выполняется хотя бы одно из двух условий:

1) для всякого i = 1, 2,… п f_i(y) ≥ f_i(x);

2) существует j, такое, что f_j(у) > f_j(х).

Эффективное решение задачи (4.1.1) называется также решением, оптимальным по Парето, или Парето-оптимальным решением.

Допустимое решение х D называется слабо эффективным (или оптимальным по Слейтеру), если не существует y D, такого, что у х строго, т.е. для всякого у D существует число i, такое, что

f_i(y) ≤ f_i(x)

В заключение рассмотрим понятие оптимальности по Парето и по Слейтеру на примере следующей задачи многокритериальной опти­мизации:

z ₁ = 4х₁ + 10х₂ → max,

z₂ = х₁ + х₂ → max,

z₃ = х₂ → max,

х ₁ + 2х₂ ≤ 40,

х₂ < 15,

х₁, х₂ ≥ 0,

х₁, х₂ - ?

Множество допустимых решений этой задачи изображено на рис. 4.1.

Множество допустимых решений представляет собой много­угольник ОАВС. Для всех точек этого многоугольника, кроме точек ломаной ABC, можно найти решения, которые являются более пред­почтительными как в отношении строгого предпочтения, так и в от­ношении доминирования по Парето. Для этого необходимо рассмот­реть точки, лежащие выше, тогда увеличатся значения всех трех целе­вых функций. Так как для всех точек многоугольника ОАВС, кроме точек ломаной ABC, существуют допустимые точки, лежащие выше их, то эти точки не являются оптимальными ни по Парето, ни по Слейтеру.

Все точки отрезка АВ безразличны по отношению к критерию z₃, поэтому они несравнимы в отношении сильного предпочтения. При этом при движении вдоль отрезка АВ от точки А к точке В растут значения критериев z₁ и z₂. Но при движении по отрезку ВС от точ­ки В к точке С значение функции z₂ растет, а значение функции z₁ уменьшается. Поэтому точки отрезка ВС несравнимы в отношении доминирования по Парето, а все точки интервала АВ доминируются по Парето точкой В.

Таким образом, в задаче (4.2.1) оптимальными по Парето являют­ся точки отрезка ВС, а оптимальными по Слейтеру — точки ломаной ABC.

Понятие эффективного решения является фундаментальным в ре­шении задач многокритериальной оптимизации, поскольку позволяет значительно уменьшить число рассматриваемых решений.