25

Глава 4 многокритериальная оптимизация

4.1. Задача многокритериальной оптимизации. Многокритериальная предпочтительность решений

В задачах математического программирования, рассмотренных ранее, необходимо среди допустимых решений выбрать оптимальное по одному заранее выбранному критерию. Между тем, в реальных экономических задачах приходится искать наилучшее решение, руко­водствуясь несколькими различными целями. Причем довольно часто эти цели в той или иной степени противоречат друг другу.

Примерами противоречивых целей в задачах реальной экономики являются минимальные затраты и минимальное время выполнения ра­бот, максимальная доходность финансовой операции и ее минимальный риск или, например, максимальная прибыль, максимальная эффектив­ность вложенных средств и максимальный объем производства.

Математически такая задача содержит область допустимых реше­ний, которая может иметь любую природу, и несколько целевых функций, значение которых должно максимизироваться или миними­зироваться в данной области. Максимизация и минимизация целевых функций легко сводятся друг к другу умножением на -1, поэтому, не нарушая общности, можно считать, что данная задача имеет вид:

f_i(х) → mах (i = 1, 2,…, n),

x D,

х - ?,

где D — область допустимых решений.

Отметим, что в этой задаче х может быть векторным параметром.

Если количество целевых функций f_i в задаче (4.1.1) больше од­ной, то данная задача является задачей многокритериальной оптими­зации.

В экономических задачах допустимая область обычно задается системой уравнений и неравенств, к которой могут быть добавлены некоторые дополнительные ограничения, например ограничения на целочисленность переменных.

Пример 4.1. Парикмахерская может производить два вида про­дукции: мужские и женские прически, причем мастера, работающие в парикмахерской, являются универсалами. Женская прическа отнимает два часа работы мастера и приносит 10 у.е. прибыли. Мужская при­ческа отнимает один час работы мастера и приносит 4 у.е. прибыли. Общий ресурс работы мастеров составляет 40 ч. Социальный заказ, установленный для парикмахерской при ее открытии, состоит в мак­симальном количестве обслуженных клиентов.

Если через х₁ и х₂ обозначить количество мужских и женских причесок, сделанных в парикмахерской за рассматриваемый проме­жуток времени, то математическая модель рассматриваемой задачи будет иметь вид:

z₁ =4x₁ + 10х₂ → max,

z₂ = х₁ + х₂ → max,

х₁ + 2x₂ ≤ 40

х₁, х₂ Z,

х₁, х₂ ≥ 0,

х₁, х₂ - ?

В данной задаче оптимальность производственного плана парик­махерской определяется по двум критериям: критерию максимальной прибыли и критерию максимального количества обслуженных клиен­тов. Этим критериям соответствуют целевые функции z, и z₂.

В задаче многокритериальной оптимизации (4.1.1), рассматривае­мой в прямой постановке, как правило, нет решений, поскольку цели, выражаемые различными критериями, часто являются противополож­ными. Поэтому оптимальные значения целевых функций достигаются при разных допустимых решениях. Например, в примере 4.1 целевая функция z₁ достигает своего максимума при х₁ = 0, х₂ = 20 , а функ­ция z₂ — при х₁ = 40, х₂ = 0 .

Несмотря на отсутствие оптимального решения в задаче (4.1.1), на практике приходится делать выбор в пользу какого-либо одного до­пустимого варианта. Поэтому в многокритериальных задачах необхо­димо сравнивать различные допустимые решения, хотя далеко не все из них будут сравнимы.

Смысл сравнения различных допустимых решений в многокрите­риальной задаче состоит в следующем. Для каждого допустимого ре­шения задачи определяется оценка, которая зависит от значений целе­вых функций f₁, f₂,… f_п. В совокупности все эти функции состав­ляют векторный критерий f = (f₁, f₂,… f_п).

Оценкой допустимого решения x D задачи (4.1.1) называется вектор f(x) = (f₁(x), f₂(х), … f_n(x)) Rⁿ.

Теперь, какова бы ни была природа множества D, можно сравни­вать не его элементы, а их векторные оценки. То есть предпочтитель­ность на множестве D можно заменить предпочтительностью оценок на множестве Rⁿ.

Если отношение предпочтительности на множестве D обозначить символом , то для любых х, у D х у означает, что f(х) < f(у) на множестве Rⁿ.

Сложность состоит в том, что и на множестве Rⁿ элементы срав­нимы далеко не всегда. Часто встречается ситуация, когда среди двух допустимых решений одно лучше по одному критерию, а второе - по другому. Например, в задаче (4.1.2) векторная оценка решения (0; 20) имеет вид (200; 20), а векторная оценка решения (40; 0) — (160; 40). По этим оценкам видно, что рассматриваемые решения несравнимы.

Для выбора лучшего решения на множестве несравнимых реше­ний необходимы специальные процедуры, которые вкладывают в по­нятие лучшего решения некоторый конкретный смысл. Такие проце­дуры будут рассмотрены в § 4.4.

Сейчас же будет рассмотрено, какой смысл можно вложить в поня­тие предпочтительности на множестве оценок допустимых решений.