Физико-механические свойства
Под электрическими свойствами кристаллов понимают совокупность явлений, так или иначе связанных с электрической поляризацией. В некоторых случаях эта поляризация является самопроизвольной, спонтанной, т.е. не обусловленной внешними воздействиями. В других случаях она может быть вызвана нагреванием кристалла, приложением электрического поля, механической нагрузки и др. В физической кристаллографии проблема электрических свойств кристаллов является одной из наиболее полно разработанных.
В анизотропном
диэлектрике при наложении электрического
поля электрические заряды смещаются
не по направлению приложенного
электрического поля и векторы
электрического смещения
,
напряженности
и поляризации
не совпадают ни по модулю, ни по
направлению. Поле
,
направленное, например, вдоль какой-нибудь
из осей координат, создаст в кристалле
электрическое смещение
,
имеющее компоненты в общем случае по
всем трем осям координат:
.
Компоненты векторов
и
в кристаллофизической системе координат
записываются в виде:[7,154]
(i,j=1,2,3) (1.2.1)
Девять величин образуют симметричный тензор второго ранга, характеризующий диэлектрическую проницаемость кристалла:
(1.2.2)
Тензор не зависит
от выбора системы координат. Переход
от координатных осей
,
,
к любой новой системе координат
,
,
осуществляется по формуле
где
-
направляющие косинусы углов между
старыми и новыми осями координат.
Любая компонента
характеризует количественное соотношение
между напряженностью
внешнего электрического поля вдоль j-й
оси координат и вызванным этим полем
электрическим смещением
поля в кристалле вдоль i-й
оси координат.
Тензор
симметричен, т.е.
.
Это условие означает, что если электрическое
поле, направленное по оси
,
создает в кристалле электрическое
смещение по оси
,
то такое же поле, направленное по оси
,
будет создавать такое же смещение по
оси
.
Таким образом, число независимых компонент сокращается с 9 до 6.
Вид тензора диэлектрической проницаемости также зависит от симметрии кристалла: чем ниже симметрия кристалла, тем большее число независимых переменных требуется для описания данного физического свойства.
Кристаллы высокой симметрии изотропны в отношении диэлектрической проницаемости. К ним относятся кристаллы кубической сингонии и тензор имеет вид:
(1.2.3)
Чтобы
полностью определить диэлектрическую
проницаемость кристалла средней
симметрии, достаточно измерить два
значения:
вдоль главной оси симметрии [001]
и
в плоскости базиса (001). Все направления
в плоскости базиса в данном случае
равнозначны. К таким кристаллам относятся
кристаллы тетрагональной, тригональной
и гексагональной сингоний.
(1.2.4)
В случае кристаллов
низшей симметрии
и для полного определения диэлектрической
проницаемости кристаллов ромбической,
моноклинной и триклинной сингоний нужно
измерить 3, 4, и 6 значений
соответственно.
Тензор для кристаллов ромбической сингонии имеет следующий вид:
(1.2.5)
Для кристаллов моноклинной сингонии
(1.2.6)
Для кристаллов триклинной сингонии
(1.2.7)
Анизотропией кристаллов обусловлено интересное явление – пьезоэлектрический эффект: возникновение электрической поляризации под действием механических напряжений (деформаций) и деформации под действием электрического поля.
Из рассмотрения
связи между тензорами механических
напряжений
и деформаций
и векторами напряженности электрического
поля
и поляризации
следуют уравнения пьезоэлектрического
эффекта:[154]
,
,
,
,
(1.2.8)
,
,
,
.
где
и
-
соответственно компоненты вектора
электрической поляризации и вектора
напряженности электрического поля,
и
-
соответственно компоненты тензора
механических напряжений и тензора
деформаций, Уравнения, приведенные в
(1.2.8), описывают соответственно прямой
и обратный пьезоэффекты.
Векторы , , , - являются полярными тензорами 3-го ранга и называются пьезоэлектрическими коэффициентами. Это означает, что при переходе из координатной системы , , в систему , , пьезоэлектрические коэффициенты, например коэффициенты , преобразуются по закону
Пьезоэлектрический модуль (пьезомодуль) d определяет поляризацию кристалла (или плотность заряда) при заданных механических напряжениях; e пьезоэлектрическая константа определяет поляризацию кристалла при заданном значении механической деформации; пьезоэлектрическая постоянная g характеризует электрическое напряжение в разомкнутой цепи при заданном механическом напряжении; и наконец, пьезоэлектрическая постоянная h определяет электрическое напряжение в разомкнутой цепи при заданной механической деформации. Эти постоянные являются родственными величинами и связаны друг с другом соотношениями, включающими в себя упругие константы и диэлектрическую проницаемость кристаллов, поэтому можно пользоваться любой из них.
Число компонент тензора 3-го ранга равно 27, но в силу симметричности тензоров механических напряжений и деформаций
,
Тензоры пьезоэлектрических коэффициентов оказываются симметричными относительно перестановок последних двух индексов, т.е. выполняются соотношения
.
Это уменьшает число независимых пьезоэлектрических коэффициентов до 18 и дает возможность записывать уравнения пьезоэлектрического эффекта в более короткой матричной форме.
Анализируя все 18 пьезомодулей, приходим к выводу, что они характеризуют четыре типа пьезоэлектрических эффектов.
Коэффициенты
характеризуют связь между механической
деформацией сжатия (или растяжения) и
электрической поляризацией в том же
направлении.
Пьезомодули
характеризуют поперечный эффект и
определяют электрическую поляризацию,
перпендикулярную вызывающей ее деформации
растяжения (сжатия).
Коэффициенты
характеризуют эффект продольного
сдвига: поляризация
параллельна оси сдвига и нормальна к
плоскости сдвига.
Наконец, пьезомодули
характеризуют эффект поперечного
сдвига: сдвиговая деформация
вызывает поляризацию в плоскости сдвига,
поперечную оси сдвига.
Однако физический смысл и числовое значение компонент пьезомодуля зависят от принятого расположения осей.
Уравнения (1.2.8) в общем случае весьма громоздки. Однако в большинстве конкретных случаев из-за симметрии кристаллов часть коэффициентов оказываются равными нулю или равными друг другу. Действительно пьезоэффект невозможен в центросимметричных кристаллах, а также у диэлектриков класса 432, у которого в силу симметрии все компоненты тензоров пьезоэлектрических коэффициентов равны нулю. Это следует из того, что «сложение» элементов симметрии кристалла, имеющего цент симметрии, и однородного механического напряжения, также имеющего цент симметрии, приводит по принципу симметрии Кюри к центросимметричной группе. Другими словами, центросимметричный кристалл после деформирования остается центросимметричным. Наличие же центра симметрии в деформированном кристалле однозначно указывает на то, что в таком кристалле нет полярных направлений, а значит и электрической поляризации.
Таким образом
пьезоэлектрический эффект может
наблюдаться у диэлектрических кристаллов,
принадлежащих к одному из 20 классов:
1,
2, m,
222, mm2,
4,
,
422, 4mm,
,
3, 32, 3m,
6,
,
622, 6mm,
,
23,
.
Отсутствие центра симметрии является необходимым, но не достаточным условием существования пьезоэлектрического эффекта, и поэтому не все ацентричные кристаллы обладают им.
Пьезоэлектрический эффект не может наблюдаться в твердых аморфных и скрытокристаллических диэлектриках (почти изотропных), так как это противоречит их сферической симметрии. Исключение составляет случай, когда они становятся анизотропными под влиянием внешних сил и тем самым частично приобретают свойства одиночных кристаллов. Пьезоэффект возможен также в некоторых видах кристаллических текстур.
Далее приведены матрицы пьезоэлектрических модулей для этих классов.
Кубическая сингония классы 23 и
(1.2.9)