1 Физико-механические свойства и уравнения распространения пьезоупругих волн в квазистатическом приближении

В данном разделе изложены механические, электрические и пьезоэлектрические свойства кристаллов. Приводятся уравнения, описывающие распространение пьезоупругих волн в кристаллах.

1.1 Механические свойства

Механические свойства твердых тел определяются их реакцией на приложенную механическую нагрузку.

Под действием механических напряжений кристаллы испытывают деформации. Если величина напряжения ниже предельного значения, называемого пределом упругости, деформация является обратимой. При достаточно малых напряжениях деформация пропорциональна величине приложенного напряжения. Если к кристаллу приложено произвольной однородное напряжение , возникающая однородная деформация такова, что каждая ее компонента линейно связана со всеми компонентами тензора напряжений, т.е.

(1.1.1)

или

Эти выражения представляют собой закон Гука в обобщенной форме.

Здесь - константы упругой жесткости, - константы упругой податливости кристалла, которые образуют тензоры 4-го ранга. Это означает, что при замене координатной системы , , на систему , , коэффициенты преобразуются по закону

где – направляющие косинусы, задающие ориентацию осей , , относительно осей , , .

Выражение (1.1.1) представляет собой совокупность девяти уравнений, правая часть которых состоит в общем случае из девяти членов. Всего имеется 81 упругий коэффициент , каждый из которых имеет определенный смысл и численную величину для данной системы координат, связанной с кристаллом. Если эта система совпадает с кристаллофизической координатной системой, то коэффициенты называются основными.

В силу симметричности тензора деформаций и тензора напряжений компоненты тензора симметричны относительно индексов i и j, k и l справедливы следующие равенства:

и

благодаря чему число независимых компонент этих тензоров сокращается до 36.

Из термодинамических соображений следует, что если силы консервативны, то коэффициенты симметричны также и относительно перестановки пар индексов, т.е.

Это соотношение уменьшает число независимых компонент тензоров до 21.

Таким образом, тензор упругих постоянных в самом общем случае можно представить в виде следующей симметричной матрицы:[7,154]

Благодаря симметричности тензоров по первым двум и последним двум индексам можно использовать сокращенные матричные обозначения, которые вводятся по следующей схеме 11 1, 22 2, 33 3, «23 или 32 4, 13 или 31 5, 12 или 21 6». Эта строчка определяется «правилом девятки»: сумма неодинаковых индексов и третьего, их заменяющего, должна равняться девяти, то есть (2+3) +4=9, (3+1)+5=9, (1+2)+6=9.

Каждая из компонент тензора характеризует связь между определенными компонентами напряжений и деформаций.

Так компоненты связывают нормальные (растягивающие или сжимающие) напряжения с параллельными им деформациями продольного удлинения (растяжения-сжатия). Эти коэффициенты всегда больше нуля.

Компоненты характеризуют связь между нормальным напряжением и деформацией поперечного сжатия (или растяжения). Эти компоненты обычно меньше нуля.

Компоненты связывают напряжения сдвига (касательные) с деформацией сдвига, параллельного приложенному напряжению.

Компоненты связывают нормальные напряжения с деформациями сдвига в плоскости, параллельной напряжению, или, обратно, деформацию растяжения-сжатия с параллельным ей касательным напряжением.

Компоненты связывают нормальные напряжения с деформациями сдвига. Параллельного напряжению, или, обратно, сдвиговые напряжения с деформацией сжатия-растяжения параллельно оси сдвига.

Компоненты связывают напряжения сдвига с деформациями сдвига в перпендикулярном направлении.

При изменении правил установок меняется и смысл компонент.

Вследствие симметрии кристаллов матрицы этих тензоров еще значительно упрощаются. Число независимых компонент этих матриц тем меньше, чем выше симметрия кристалла. По симметрии упругих свойств кристаллы делятся на 10 классов.

Так у анизотропных тел, имеющих одну плоскость упругой симметрии, с которой совмещается одна из координатных плоскостей, число упругих постоянных сокращается до 13 и матрица в этом случае имеет вид:

Если тело имеет две взаимно перпендикулярные плоскости упругой симметрии, то в этом случае при совмещении с ними координатных плоскостей число уменьшается до 9.

Это справедливо для кристаллов ромбической сингонии.

Класс 222 характеризуется тремя взаимно перпендикулярными осями 2 – го порядка. Матрица упругих параметров ромбической системы имеет вид:

(1.1.2)

Класс mm2 имеет 2 взаимно перпендикулярные плоскости симметрии и ось 2 – го порядка, совпадающей с линией пересечения плоскостей симметрии. В этом случае матрица коэффициентов c_ijkl не отличается от коэффициентов класса 222 (1.1.2).