5.2 Уравнения индикатрис пьезоупругих волн

Индикатриса (указательная поверхность) - вспомогательная поверхность, характеризующая зависимость какого-либо свойства среды от направления.

В настоящей работе построены уравнения индикатрис скоростей двумерных пьезоупругих волн.

Скорость распространения волны связана с волновым вектором следующей формулой:

(5.2.1)

Уравнения индикатрис следуют из низкочастотного разложения уравнений дисперсии [112]

Общий вид уравнений индикатрис:

(5.2.2)

где – корни характеристического уравнения следующего из условия существования нетривиальных решений .

Рассмотрено построение уравнений индикатрис скоростей на примере распространения пьезоупругих волн в координатной плоскости (xz) ромбической сингонии класса 222.

Матрица коэффициентов имеет вид (2.1.50). Структура этой матрицы коэффициентов и значения b_ij показывают, что продольная и поперечная x-поляризованная волны, будучи взаимосвязанными, тем не менее не связаны с пьезоэффектом. Электроупругой волной является поперечная волна y-поляризации.

Следовательно, уравнение индикатрис для пьезоупругой волны будем строить на основе матрицы коэффициентов (3.1.11) 4-го порядка описывающую распространение двумерной поперечной волны y-поляризации.

Для однородной среды и имеет вид (4.2.10).

Корни были получены ранее и имеют вид (4.2.11).

После подстановки корней в формулу (5.2.2), получим

(5.2.3)

Компоненты волнового вектора связаны с ним следующим соотношением:

(5.2.4)

После подстановки из (4.2.10) в (5.2.3) и учитывая соотношение (5.2.4), получим выражение для волнового вектора, зависящего от параметров среды, в которой распространяется пьезоупругая волна и от направления распространения:

Уравнение индикатрис скоростей, согласно (5.2.1) имеет вид: [126, C.40]

(5.2.5)

Уравнение (5.2.5) позволяет определить значения скоростей распространения волны по всем возможным направлениям.

Например, скорость распространения волны вдоль оси z можно определить по формуле:

Скорость распространения волны вдоль оси х имеет следующее значение:

(5.2.6)

Аналогично, исходя из матрицы коэффициентов В, можно получить уравнение индикатрис скоростей для пьезоупругих волн распространяющихся в координатной плоскости (yz) ромбической сингонии класса 222: [126, C.41]

(5.2.7)

Скорость распространения волны вдоль оси z можно определить по формуле:

Скорость распространения волны вдоль оси у имеет значение (5.2.6). Следовательно, можно сказать, что вдоль осей у и х распространяются упругие волны с одинаковой фазовой скоростью.

Знание уравнений индикатрис (5.2.5) и (5.2.7) позволяет строить сечения поверхности скоростей. Чтобы построить эти сечения, определим значения скоростей по всем возможным направлениям и отложим эти значения на радиусах-векторах, исходящих из какой-либо точки, выбранной за начала координат ( предполагается, что точка находится внутри кристалла). Соединив концы этих векторов, получим сечения скоростей (обратных скоростей), описывающие данное физическое свойство.

По форме индикатрисы можно выявить экстремальные направления, в которых величина, определяющая свойство, принимает максимальное и минимальное значения. Можно также увидеть симметрию самого свойства.

Сечение поверхности скоростей двумерной пьезоупругой волны в кристалле ромбической сингонии класса 222 (плоскость xz и yz) (сегнетова соль ) показано на рисунках 1 и 2.

Рисунок 1 – Сечение поверхности скоростей пьезоупругой волны в кристалле ромбической сингонии класса 222 (плоскость xz) (сегнетова соль )

Рисунок 2 – Сечение поверхности скоростей пьезоупругой волны в кристалле ромбической сингонии класса 222 (плоскость уz) (сегнетова соль )

Аналогично, исходя из матриц коэффициентов, получены уравнения индикатрис скоростей для пьезоупругих волн распространяющихся в координатных плоскостях анизотропных сред кубической, тетрагональной и гексагональной сингоний.

Уравнения индикатрис скоростей поперечной пьезоупругой волны, распространяющейся в координатных плоскостях (xz) и (yz) в кристалле кубической сингонии классов 23 и 3m имеют вид:

(5.2.8)

Скорость распространения волны вдоль оси z :

Скорость распространения волны вдоль осей х и у :

Знание данных уравнений позволяет строить графически сечения скоростей поперечной пьезоупругой волны, которые для данных сред приведены на рисунках 3 и 4.

Рисунок 3 – Сечение поверхности скоростей пьезоупругой волны в кристалле кубической сингонии класса 23 (германат висмута Bi₁₂GeO₂₀)

Из рисунка 3 видно, что скорость пьезоупругой волны, распространяющейся в кристалле германата висмута (Bi₁₂GeO₂₀) по разным направлениям различна, но симметрична оси z. Поскольку данный кристалл относится к средам с высокой симметрией, поэтому разброс значений скоростей небольшой и составляет ~200м/с. Если не учитывать влияние пьезоэффекта, то в кристалле будет распространяться упругая волна с одинаковой по всем направлениям фазовой скоростью и по величине она будет меньше, чем скорость пьезоактивной волны, что также показано на рисунке 3.

Рисунок 4 – Сечение поверхности скоростей пьезоупругой волны в кристалле кубической сингонии класса 3m (арсенид галлия GaAs)

Из рисунка 4 можно сказать, что скорость пьезоупругой волны, распространяющейся в кристалле арсенида галлия (GaAs), имеет одинаковую по всем направлениям скорость.

Уравнения индикатрис скоростей поперечной пьезоупругой волны, распространяющейся в координатных плоскостях (xz) и (yz) в кристалле тетрагональной сингонии классов 422 и имеют вид: [129, C.204, 132, C.63]

Класс

(5.2.9)

Класс 422

(5.2.10)

Скорость распространения волны вдоль оси z в кристаллах класса 422 и имеют одинаковые значения:

Скорости распространения волны вдоль оси х и у имеют одинаковые значения:

Сечение поверхности скоростей поперечной пьезоупругой волны, распространяющейся в координатных плоскостях (xz) и (yz) в кристаллах тетрагональной сингонии классов 422 и приведены на рисунках 5, 6 и 7.

Рисунок 5 – Cечение поверхности скоростей пьезоупругой волны в кристалле тетрагональной сингонии класса 422 (парателлурит TeO₂)

Из рисунка 5 видно, что скорость пьезоупругой волны симметрична оси z и вследствие анизотропии скорость по всем направлениям имеет разные значения.

Рисунок 6 - Сечение поверхности скоростей пьезоупругой волны в кристалле тетрагональной сингонии класса (дигидрофосфат аммония ADP, )

Рисунок 7 – Сечение поверхности скоростей пьезоупругой волны в кристалле тетрагональной сингонии класса (дигидрофосфат калия КDP, )

Уравнения индикатрис скоростей поперечной пьезоупругой волны, распространяющейся в координатных плоскостях (xz) и (yz) в кристалле гексагональной сингонии класса 622 имеют вид:

Класс 622

(5.2.11)

Скорость распространения волны вдоль оси z :

Скорость распространения волны вдоль оси х и у :

Таким образом, данные формулы индикатрис скоростей позволяют определить скорость плоского распространения пьезоупругой волны в анизотропных средах кубической, тетрагональной классах 422 и , гексагональной класса 622, ромбической класса 222 сингоний, а также строить сечения поверхности скоростей данных волн. Как частные случаи, получены формулы скоростей волн, распространяющихся вдоль осей координат. Анализируя эти формулы можно сказать, что вдоль осей координат распространяются упругие волны. Пьезоэффект оказывает влияние на скорость волны при всех других направлениях распространения вдоль координатной плоскости.