Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
русРАХИМОВА Cтруктура двумерн пьезоупр волн в а...doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
2.96 Mб
Скачать

Перепишем (4.1.11) в следующей форме

Матрица , согласно (4.1.1) имеет вид:

Учитывая условие (4.1.6), получим характеристическое уравнение, степень которого понизилась в два раза

,

корни которого имеют вид

(4.1.12)

Подставив корни , получим

(4.1.13)

где

, , ,

Основной характеристикой периодически неоднородных сред является уравнение дисперсии. Знание структуры матрицанта позволило получить корни матрицы монодромии, которое понижает степень характеристического уравнения в два раза. Корни (4.1.8, 4.1.12) дают уравнения дисперсии в неограниченной периодической структуре, которые в общем виде могут быть записаны как: [112,149]

(4.1.14)

Для волн распространяющихся в среде ромбической сингонии класса 222 (плоскость xz) уравнение дисперсии имеет вид:

(4.1.15)

Для уравнений дисперсии (4.1.14, 4.1.15) области прозрачности удовлетворяют условиям

.

Границы между зонами прозрачности и непропускания определяются равенствами

.

Дисперсионные кривые, определяемые из условия дают границы зон пропускания и непропускания в неограниченной периодически неоднородной среде.

4.2 Усредненные периодические структуры и их параметры

Фундаментальная матрица усредненной периодически неоднородной пьезоупругой среды может быть получена из представления (4.1.3) при условии λ>>h (λ – длина волны, h – период неоднородности), полагая

,

где – общая толщина слоя, n–число периодов в слое.

Учитывая эти условия матричные полиномы Рn(p) Чебышева – Гегенбауэра приводятся к следующему виду:

так как

тогда

В первом приближении

так как среда усредняется, то

Таким образом, аналитическое представление (4.1.3) для усредненной среды имеет следующий вид: [112,149]

Матрицант уравнений движения усредненной среды ромбической сингонии класса mm2 (плоскость yz) строится на основе представления

(4.2.1)

где , (4.2.2)

; , a -корни характеристического уравнения, следующие из условия

(4.2.3)

Поскольку при условии λ>>h среда считается однородной, следовательно матрица коэффициентов В постоянна. Тогда матричные ряды (3.1.1) и (3.1.2) для Т и Т-1 имеют вид:

Ограничимся вторым приближением, тогда матрица определяется следующим образом:

; (4.2.4)

Матрица , согласно (4.2.4) имеет вид:

(4.2.5)

Условие (4.2.3) с учетом (4.2.5) приводит к уравнению третьей степени

Или

Приведенная форма

где

С помощью формулы Кардана можно получить корни этого уравнения:

, , (4.2.6)

где , , ,

Перепишем формулу (4.2.2) в следующем виде:

Подставим в эти формулы корни и получим

(4.2.7)

Итак, подставив (4.2.7) в (4.2.1), получим матрицант усредненной среды в явной аналитической форме:

(4.2.8)

В случае распространения в координатной плоскости (xz) пьезоупругих волн в анизотропной среде ромбической сингонии класса 222 матрицант строится на основе представления

(4.2.9)

Матрица , согласно (4.2.4) имеет вид:

(4.2.10)

Учитывая условие (4.2.3), получим характеристическое уравнение 2-го порядка

,

корни которого имеют вид

(4.2.11)

Подставив корни и учитывая усреднение, получим аналитическое представление матрицанта усредненной среды:

(4.2.12)

где

, ,

Матрицы и удовлетворяют равенствам: