Перепишем (4.1.11) в следующей форме
Матрица , согласно (4.1.1) имеет вид:
Учитывая условие (4.1.6), получим характеристическое уравнение, степень которого понизилась в два раза
,
корни которого имеют вид
(4.1.12)
Подставив корни
,
получим
(4.1.13)
где 
,
,
,
Основной характеристикой периодически неоднородных сред является уравнение дисперсии. Знание структуры матрицанта позволило получить корни матрицы монодромии, которое понижает степень характеристического уравнения в два раза. Корни (4.1.8, 4.1.12) дают уравнения дисперсии в неограниченной периодической структуре, которые в общем виде могут быть записаны как: [112,149]
(4.1.14)
Для волн распространяющихся в среде ромбической сингонии класса 222 (плоскость xz) уравнение дисперсии имеет вид:
(4.1.15)
Для уравнений дисперсии (4.1.14, 4.1.15) области прозрачности удовлетворяют условиям
.
Границы между зонами прозрачности и непропускания определяются равенствами
.
Дисперсионные
кривые, определяемые из условия
дают границы зон пропускания и
непропускания в неограниченной
периодически неоднородной среде.
4.2 Усредненные периодические структуры и их параметры
Фундаментальная матрица усредненной периодически неоднородной пьезоупругой среды может быть получена из представления (4.1.3) при условии λ>>h (λ – длина волны, h – период неоднородности), полагая
,
где
– общая толщина слоя, n–число
периодов в слое.
Учитывая эти условия матричные полиномы Рn(p) Чебышева – Гегенбауэра приводятся к следующему виду:
так как
тогда
В первом приближении
так как среда
усредняется, то 
Таким образом, аналитическое представление (4.1.3) для усредненной среды имеет следующий вид: [112,149]
Матрицант уравнений движения усредненной среды ромбической сингонии класса mm2 (плоскость yz) строится на основе представления
(4.2.1)
где
, (4.2.2)
;
,
a
-корни характеристического уравнения,
следующие из условия
(4.2.3)
Поскольку при условии λ>>h среда считается однородной, следовательно матрица коэффициентов В постоянна. Тогда матричные ряды (3.1.1) и (3.1.2) для Т и Т-1 имеют вид:
Ограничимся вторым
приближением, тогда матрица
определяется следующим образом:
;
(4.2.4)
Матрица , согласно (4.2.4) имеет вид:
(4.2.5)
Условие (4.2.3) с учетом (4.2.5) приводит к уравнению третьей степени
Или
Приведенная форма
где
С помощью формулы Кардана можно получить корни этого уравнения:
, , (4.2.6)
где
,
,
,
Перепишем формулу (4.2.2) в следующем виде:
Подставим в эти формулы корни и получим
(4.2.7)
Итак, подставив (4.2.7) в (4.2.1), получим матрицант усредненной среды в явной аналитической форме:
(4.2.8)
В случае
распространения в координатной плоскости
(xz)
пьезоупругих волн в анизотропной среде
ромбической сингонии класса 222
матрицант
строится на основе представления
(4.2.9)
Матрица
,
согласно (4.2.4) имеет вид:
(4.2.10)
Учитывая условие (4.2.3), получим характеристическое уравнение 2-го порядка
,
корни которого имеют вид
(4.2.11)
Подставив корни
и учитывая усреднение, получим
аналитическое представление матрицанта
усредненной среды:
(4.2.12)
где
,
,
Матрицы
и
удовлетворяют равенствам:
