3.2 Структура матрицанта для пьезокристаллов тригональной сингонии

Аналогичным путем на основе матриц коэффициентов построены структуры матрицанта для анизотропных сред тригональной сингонии.

Структура матрицанта для пьезоупругих волн тригональной сингонии класса 3m имеет вид:

(3.2.1)

Структура матрицанта для пьезоупругих волн тригональной сингонии класса 32:

(3.2.2)

Как видно из выше приведенных структур матрицанта (3.1.10), (3.1.12) из структуры (3.2.1) следуют структуры матрицантов уравнений движения анизотропных сред выше перечисленных сингоний.

Полученная структура матрицанта (3.1.10), (3.1.12) и (3.2.1), (3.2.2) имеет важное значение при изучении волновых процессов. Она позволяет получить корни характеристического уравнения, которые определяют закон дисперсии. Также она позволяет получить все инвариантные соотношения, имеющие место в рассматриваемом процессе, которые в математическом виде записываются соотношением (3.1.3).

4 Периодические пьезодиэлектрики

В четвертом разделе на основе структуры матрицанта уравнений движения, полученных в третьем разделе, приводится аналитическое представление матрицанта уравнений движения пьезоупругой периодически неоднородной среды и рассматривается построение уравнений дисперсии. Приводится аналитическое представление усредненной периодической среды.

4.1 Аналитическое представление матрицанта периодического слоя. Построение уравнений дисперсии для бесконечной периодической среды

Знание матрицы монодромии (матрицант одного периода неоднородности) позволяет в аналитической форме получить представление матрицанта произвольного периодически неоднородного слоя.

При наличии n периодов неоднородности последовательность уравнений

приводит к уравнению

Таким образом, вычисление матрицанта периодически неоднородного слоя, имеющего n периодов, связано с вычислением n – ой степени матрицы монодромии.

Для регулярных структур вводится некоторая матрица р

(4.1.1)

Или

Умножим обе части этого уравнения на т

так как

Формула (4.4.1) дает реккурентное соотношение

(4.1.2)

Последовательное применение (4.1.2) позволяет представить Тⁿ в виде:

(4.1.3)

где Р_n(p) – матричные полиномы Чебышева – Гегенбауэра 2-го рода.

Представление (4.1.3) позволяет получить в явной аналитической форме.

В случае распространения в координатной плоскости (yz) пьезоупругих волн в анизотропной среде ромбической сингонии класса mm2, матрицант строится на основе представления: [112,149]

(4.1.4)

где , (4.1.5)

\ ; , a -корни характеристического уравнения, следующие из условия

(4.1.6)

Матрица , согласно (4.1.1) имеет вид:

(4.1.7)

Условие (4.1.6) с учетом (4.1.7) приводит к уравнению третьей степени

Или

Приведенная форма ,

где

С помощью формулы Кардана можно получить корни этого уравнения:

, , (4.1.8)

где , , ,

Перепишем формулу (4.1.5) в следующем виде:

Подставим в эти формулы корни и получим

(4.1.9)

Итак, подставив (4.1.9) в (4.1.4), получим представление матрицанта периодически неоднородного слоя среды в явной аналитической форме:

(4.1.10)

В случае распространения в координатной плоскости (xz) пьезоупругих волн в анизотропной среде ромбической сингонии класса 222 матрицант строится на основе представления [112,149]

(4.1.11)