3. Четыре субрежима действия тепловой машины (цикл Карно)

Численные значения эффективностей, определенных в (3) – (6), существенно зависят от того, какие квазистатические процессы реализуют соответствующие циклы. Только в особом случае, называемом циклом Карно, эффективности (3) – (6) имеют оптимальные значения, выражающиеся только через отношение температур Т^–/Т⁺<1 холодильника и нагревателя. Переход от величин «теплот» Q^– и Q⁺ к температурам Т^– и Т⁺ проводится на основе соотношения (2), которое, в свою очередь, легко получить, используя диаграмму цикла Карно на фазовой плоскости энтропия S – температура T, где эта диаграмма имеет вид прямоугольника со сторонами (Т⁺–Т^–) и (S⁺–S^–) (рисунок 4).

Это значительно удобнее, чем диаграмма того же цикла Карно на фазовой плоскости давление P – объем V (рисунок 3), где требуется знать вид уравнений состояния P(V) для изотермы и адиабаты рабочего тела. Правда, в силу универсальности тепловой машины можно использовать в качестве рабочего тела идеальный газ с хорошо известными уравнениями P(V), но S–T диаграмма для цикла Карно удобнее и проще, чем P–V диаграмма.

Нетрудно подсчитать, что площадь прямоугольного цикла А=(Т⁺–Т^–)(S⁺–S^–) равна Q^–+Q⁺, или с учетом равенства (1), А=W; здесь учтено, что согласно соотношению Клаузиуса TdS=δQ в двух изотермических процессах (при Т=Т⁺ и Т=Т⁻) теплоты равны Q⁺=Т⁺(S⁺–S^–) и Т^–(S^––S⁺)=Q^–.

Площадь А при заданных значениях (Т⁺, S⁺) и (Т^–, S^–) максимальна (этот факт следует из геометрии), так что работа W в цикле Карно также максимальна, причем знак W зависит от направления обхода фазовой диаграммы цикла Карно.

Сложив далее два изотермических изменения энтропии в цикле Карно (два адиабатических изменения, по определению, равны нулю), получим соотношение (2) в виде (S⁺–S^–)+(S^––S⁺)≡0=(Q⁺/Т⁺)+(Q^–/Т^–), что дает ключевое соотношение Q^–/Q⁺=–Т^–/Т⁺. С его помощью для всех эффективностей (3) – (6) получаем следующие выражения:

ξ=Т^–/Т⁺, η=1–ξ=1−Т^–/Т⁺=ΔТ/Т⁺, θ=1/η=Т⁺/ΔТ, χ=θ−1=θξ=ξ/η, (7)

где использовано понятие перепада температур ΔТ=Т⁺−Т⁻>0 между нагревателем и холодильником; напомним, что, по условию, величина ΔТ всегда строго положительна.

Согласно соотношениям (7), максимально возможные значения эффективностей тепловой машины ξ, η=1−ξ, θ=1/η, χ=θ−1 в цикле Карно не зависят от природы рабочего тела, а определяются лишь температурами Т⁺ и Т^–. Кроме того, четыре величины ξ, η, θ, χ удовлетворяют трем соотношениям – например, ξ+η=1, θ−χ=1, θ=1/η, откуда следует, что независимой величиной является лишь одна – например, ξ=Т^–/Т⁺.

Как видно из (7), эффективность η в субрежиме теплового двигателя, обычно называемая КПД, всегда меньше единицы, но тем ближе к ней, чем больше перепад температур ΔТ; формально говоря, η=1 в случае Т^–=0, когда ΔТ=Т⁺, однако этот случай нереализуем в силу 3-го начала ТД. Ясно, что учет неидеальности тепловой машины и неквазистатичности ее действия всегда приводит лишь к понижению реального КПД; для большинства реальных технических устройств он не превышает 0,3÷0,4.