Свободные затухающие колебания
Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний имеет вид
,
где = R/2L – коэффициент затухания, 0 – циклическая частота свободных незатухающих колебаний. Общее дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний имеет вид
.
Его решение
.
Рис. 11.1.
Величина
-
амплитуда затухающих колебаний, убывающая
со временем, А0
–
начальная
амплитуда.
Затухающие колебания не являются периодическими, однако величина s обращается в нуль через равные промежутки времени
,
где T – условный период.
Временем релаксации называется промежуток времени, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз:
.
Для количественной характеристики быстроты убывания амплитуды затухающих колебаний используется понятие логарифмического декремента затухания. Логарифмическим декрементом затухания называется безразмерная величина , равная натуральному логарифму отношения значений амплитуды затухающих колебаний в моменты времени t и t + T:
,
где N – число колебаний, в течение которых амплитуда убывает в е раз.
Добротностью колебательной системы называется физическая величина, равная произведению 2 на отношение энергии W(t) колебательной системы в произвольный момент времени t к убыли энергии системы за промежуток времени от t до t + T , то есть за условный период затухающих колебаний:
.
При малых значениях логарифмического декремента затухания
.
Добротность электрического колебательного контура
.
Сложение колебаний
Сложение колебаний – нахождение закона результирующих колебаний системы. Различают два предельных случая: сложение колебаний одинакового направления и сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
Сложение двух одинаково направленных колебаний.
Пусть две величины изменяются по закону
,
.
Произведем сложение методом векторных диаграмм.
.
.
Рис. 11.2.
По теореме косинусов найдем амплитуду результирующего колебания
.
Фаза результирующего колебания определяется выражением
.
Сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний.
Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты , происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей x и y
.
Исключим параметр t.
.
.
.
.
.
.
.
Последнее уравнение представляет собой уравнение эллипса (рис.11.3).
Рис.11.3.
Рассмотрим частные случаи.
В тех случаях, когда = m (m = 0, 1, 2, …), эллипс вырождается в отрезок прямой
y = (A2/A1)x.
В тех случаях, когда = (2m + 1)/2 (m = 0, 1, 2, …), получается эллипс, оси которого совпадают с осями координат, а полуоси равны соответствующим амплитудам.
Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то замкнутая траектория результирующего колебания довольно сложна. Замкнутые траектории, описываемые точкой, совершающей два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу. Вид этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний. Анализ этих кривых – широко используемый метод исследования соотношения частот и разности фаз складываемых колебаний, а также формы колебаний.