Применение закона Био-Савара-Лапласа к расчету магнитного поля

1. Магнитное поле прямолинейного бесконечно длинного про­водника с током.

Определим индукцию поля, создаваемого таким проводником с током в точке М, находящейся на расстоя­нии R от проводника. Выделим на проводнике элемент тока Idl (рис. 6.5) и проведем радиус-вектор в точку М. Индукция поля, создаваемого в точке М элементом тока Idl, определяется по формуле (.).

Рис. 6.5. Магнитное поле прямого тока.

Из рис. 6.5 видно, что

.

Магнитная индукция, создаваемая одним элементом проводника равна

Так как угол  для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до , то

.

Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока

. ( )

2. Магнитное поле в центре круго­вого тока.

Пусть ток протекает по окружности (рис. 6.6).

Рис. 6.6.

В этом случае все элементы проводника перпендику­лярны радиусу-вектору и sin  = l. Расстояние всех элементов проводника до центра одинаково и равно R. Поэтому индукция поля в центре кругового проводника

.

Так как все элементы тока создают поле, напряженность которого одинаково направлена, то напряженность поля в центре кругового проводника

( )

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током

. ( )

Закон Ампера

Одним из проявлений магнитного поля является его силовое воздействие на проводник с током, помещенный в магнитное поле. Ампером было установлено, что на проводник с током, помещенный в однородное магнитное поле, индукция которого , действует сила, пропорциональная силе тока и индукции магнитного поля:

. ( )

где - малый участок проводника, име­ющий направление, совпадающее с направ­лением тока. Произведение называют элементом тока.

dF =BIdl sin, (. )

где  - угол между направлением тока и индукцией магнитного поля.

Соотношения ( . ), ( . ) выражают закон Ампера. Сила Ампера направлена пер­пендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и (рис. 6.7).

Рис. 6.7.

Для определения направления силы, действующей на провод­ник с током, помещенный в магнитное поле, применяется правило левой руки: если левую руку расположить так, чтобы линии магнит­ной индукции входили в ладонь, а вытянутые четыре пальца со­впадали с направлением тока в проводнике, то отогнутый большой палец укажет направление силы, действующей на проводник с то­ком, помешенный в магнитное поле (рис. 6.7). Эта сила всегда перпендикулярна плоскости, в которой лежат проводник и вектор . Закон Ампера является основным в учении о магнетиз­ме и играет такую же роль, как и закон Кулона в электроста­тике.

Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца

Движущиеся электрические заряды создают вокруг себя маг­нитное поле. При движении заряда во внешнем магнитном поле воз­никает силовое взаимодействие магнитных полей, определяемое по закону Ампера.

Силу, действующую со стороны магнитного поля на движу­щийся заряд, можно найти исходя из закона Ампера. Пусть по проводнику длиной dl за промежуток времени dt проходит п одинаковых зарядов величиной dQ, т. е. через проводник протекает ток, сила которого

.

Согласно закону Ампера, на п dQ зарядов будет действовать сила

dF = BIdlsin = B n dQ/dt sin 

Сила, с которой поле действует на каждый заряд, равна

F_Л = dF/n = BQdl/dt sin ,

где dl/dt = v - средняя скорость движения заряда,  - угол между вектором скорости заряда и вектором магнитной индукции .

Сила, действующая со стороны магнитного воля на движу­щийся заряд, равна

F_Л = BQv sin ,

( .)

и называется силой Лоренца.

Эта сила перпендикулярна векторам и . Направление силы Лоренца, действующей на положительный заряд, определяется по правилу левой руки. С изменением знака заряда направление силы изменяется на противоположное.

Если скорость заряда v = 0, то F_Л = 0, т. е. магнитное поле не действует на неподвижную заряженную частицу;

Если  = 0, то F_Л = 0, т. е. если частица движется так, что вектор скорости параллелен вектору магнитной индук­ции , то со стороны магнитного поля сила не действует.

Так как сила Лоренца всегда направлена перпендикулярно вектору скорости летящей частицы, то она не изменяет величину скорости, а изменяет лишь направление движения частиц. Если заряженная частица движется в однородном магнитном поле, вектор индукции которого перпендикулярен направлению скоро­сти заряженной частицы, то сила Лоренца искривляет траек­торию движения, выполняя роль центростремительной силы.

Рис. 6.8 Рис. 6.9

Действие этой силы не приводит к изменению энергии заряжен­ной частицы, т. е. эта сила не совершает работы.

Очень важным является использование этого явления при исследовании космических частиц для определения знака заряда. Попадание летящей частицы в магнитное поле вызывает измене­ние ее траектории в зависимости от знака заряда (рис. 6.8). На рис. 3.56 вектор индукции магнитного поля направлен перпен­дикулярно плоскости чертежа (от нас). Частица будет двигаться по окружности, радиус R которой можно определить из равенст­ва центростремительной силы и силы Лоренца:

R = mv/QB (. )

Если частица движется под углом  к линиям , то траектория движения частицы будет винтовой линией (спиралью) (рис. 6.9).

Шаг h спирали определяется тангенциальной составля­ющей скорости v частицы. Радиус спирали зависит от нор­мальной составляющей скорости v.

Когда электрический заряд движется одновременно в элект­рическом и магнитном полях, то результирующая сила, дейст­вующая на частицу, равна

. (. )

В этом случае сила имеет две составляющие: от воздействия магнитного и электрического полей. Электрическое поле изме­няет величину скорости, а следовательно, и кинетическую энер­гию частицы, однородное магнитное поле изменяет только на­правление ее движения.

Совместное действие на заряженные частицы электрического и магнитного полей используется для определения удельного заряда Q/m частицы, т. е. отношения заряда Q частицы к ее массе. Для определения удельного заряда необходимо знать ско­рость частицы и радиус траектории в магнитном поле. Скорость частицы можно определить по ускоряющей разности потенци­алов электрического поля. Работа электрических сил равна кине­тической энергии частицы:

,

с учетом формулы ( )

(. )

Таким образом был определен удельный заряд электрона е/m =1,758810¹¹ Кл/кг и протона е/m_р = 9,548810⁷ Кл/кг. Этим методом можно определить не только удельный заряд протона и электрона, но и иона. Зная заряд иона, можно найти его массу. Поэтому измерение Q/m для ионов является важнейшим и наибо­лее точным методом определения атомных масс и широко при­меняется в современной физике. Для этой цели существуют при­боры, получившие название масс-спектрометров.