Оценка параметров моделей.

Для оценки параметров в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, но приводимых к линейному виду, применяется МНК к преобразованным уравнениям. Если в линейной модели и моделях, нелинейных по переменным, при оценке параметров исходят из критерия , то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам, требование МНК применяется не к исходным данным результативного признака, а к их преобразованным величинам, т. е. lny, 1/y.

Например, для оценки параметров степенной функции у=ах^bE применяется МНК к линеаризованному уравнению lny=lna+blnx+lnE, т.е. решается система нормальных уравнений:

(Параметр b определяется непосредственно из системы, а параметр а - косвенным путем после потенцирования величины lna.)

Итак, оценка параметров основывается на минимизации суммы квадратов отклонений в логарифмах:

Соответственно если в линейных моделях (включая нелинейные по переменным) , то в моделях, нелинейных по оцениваемым параметрам,

Вследствие этого оценка параметров для линеаризуемых функций МНК оказываются несколько смещенной.

Проиллюстрируем это на примере экспоненциальной функции y=e^a+bx . .Прологарифмировав, имеем: lny=lna+xlnb. Применяя МНК, минимизируем . Система нормальных уравнений составит:

Из первого уравнения видно, что

Предположим, что фактические данные сложились так, что . Тогда , т е параметр а представляет собой среднюю геометрическую из значений переменной у. Между тем в линейной зависимости y_x^T=a+bx при параметр , т. е. средней арифметической. Поскольку средняя геометрическая всегда меньше средней арифметической, до и оценки параметров, полученные из минимизации , будут несколько смещены (занижены).

Практическое применение экспоненты возможно, если ре­зультативный признак не имеет отрицательных значений. Поэто­му если исследуется, например, финансовый результат деятель­ности предприятий, среди которых наряду с прибыльными есть и убыточные, то данная функция не может быть использована. Ес­ли экспонента строится как функция выравнивания по динами­ческому ряду для характеристики тенденции с постоянным тем­пом, то у = аb^t, где у — уровни динамического ряда; t — хронологические даты, параметр b означает средний за период коэффициент роста. В уравнении у = е^а+bх этот смысл приобретает величина антилогарифма параметра b.

4.2. Корреляция для нелинейной регрессии

Уравнение линейной регрессии дополняется показателем корреляции – индексом корреляции.

- общая дисперсия результативного признака y;

- остаточная дисперсия, определяемая из уравнения дисперсии

Величина R находится в границах: 0≤ R ≤ 1, чем ближе к единице, тем связь рассмотренных признаков теснее – тем более надёжно найденное уравнение регрессии.

1)если преобразования уравнения в линейную форму связаны с независимой переменной (х), то для оценки тесноты связи может быть использован линейный коэффициент корреляции, так как его величина совпадает с индексом корреляции.

R_yx=r_yz, где z может быть z=lg x, ln x, 1/x

Данное утверждение справедливо для равносторонней гиперболы, полулогарифмической кривой.

2)если преобразования в линейную форму связаны с зависимой переменной (у), то используемый коэффициент корреляции по преобразованным значениям признаков даёт приближённую оценку тесноты связи и численно не совпадает с индексом корреляции.

R_yx ≠r_xz, где z – преобразованная переменная y

Оценка существенности R проводится аналогично оценке надёжности коэффициента корреляции (см. предыдущий материал, а именно п.2.2).

Индекс детерминации используется для проверки качества уравнения нелинейной регрессии .

Для оценки статистической значимости уравнения нелинейной регрессии рассчитывают F- критерий Фишера, и сравнивают его с табличным значением.

,

где R² – коэффициент детерминации, n – число наблюдений, m – число параметров при переменной х.

18