Оценка значимости параметров уравнения регрессии

В линейной регрессии обычно оценивается значимость не только уравнения в целом, но и отдельных его параметров. С этой целью по каждому из параметров определяется его стандартная ошибка: т_b и т_a.

Стандартная ошибка коэффициента регрессии b определяется по формуле:

где D_ост - остаточная дисперсия на одну степень свободы.

Для оценки существенности коэффициента регрессии его величина сравнивается с его стандартной ошибкой, т. е. определяется фактическое значение t-критерия Стьюдента: , которое затем сравнивается с табличным значением при определенном уровне значимости  и числе степеней свободы (n-2).

Справедливо равенство: :

Доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется как b±t m_b.

Поскольку коэффициент регрессии в эконометрических. исследованиях имеет четкую экономическую интерпретацию, то доверительные границы интервала для коэффициента регрессии не должны содержать противоречивых результатов, например, -10 < b < 40. Такого рода запись указывает, что истинное значение коэффициента регрессии одновременно содержит положительные и отрицательные величины и даже ноль, чего не может быть.

Стандартная ошибка параметра а определяется по формуле:

Процедура оценивания существенности данного параметра не отличается от рассмотренной выше для коэффициента регрессии: вычисляется t-критерий: , его величина сравнивается с табличным значением при (п-2) степенях свободы.

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе величины ошибки коэффициента корреляции m_r:

.

Фактическое значение t-критерия Стьюдента определяется как

Данная формула свидетельствует, что в парной линейной регрессии t_r²=F, так как . Кроме того, t_b²=F, следовательно t_r²=t_b².

Таким образом, проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.

Рассмотренная формула оценки коэффициента корреляции рекомендуется к применению при большом числе наблюдений и если r не близко к + 1 или -1. Если же величина коэффициента корреляции близка к + 1, то распределение его оценок отличается от нормального или распределения Стьюдента, так как величина коэффициента корреляции ограничена значениями от -1 до +1. Чтобы обойти это затруднение, Р. Фишером было предложено для оценки существенности r ввести вспомогательную величину z, связанную с коэффициентом корреляции следующим отношением:

При изменении r от -1 до +1 величина z изменяется от - до +, что соответствует нормальному распределению. Математический анализ доказывает, что распределение величины z мало отличается от нормального даже при близких к единице значениях коэффициента корреляции. Стандартная ошибка величины z определяется по формуле:

где п — число наблюдений.

Величину z можно не рассчитывать, а воспользоваться готовыми таблицами z-преобразования, в которых приведены значения величины z для соответствующих значений r.

Ввиду того, что z и r связаны между собой приведенным выше соотношением, можно вычислить критические значения r, соответствующие каждому из значений r. Таблицы критических значений r разработаны для уровней значимости 0,05 и 0,01 и соответствующего числа степеней свободы. Критические значения r предполагают справедливость нулевой гипотезы, т. е. r мало отлично от нуля. Если фактическое значение коэффициента корреляции по абсолютной величине превышает табличное, то данное значение r считается существенным. Если же r оказывается меньше табличного, то фактическое значение r несущественно.