2. Линейный гармонический осциллятор в квантовой механике.

Л инейный гармонический осциллятор — система, совершающая одномерное движение под действием квазиупругой силы, — является моделью, используемой во многих задачах классической и квантовой теории. Пружинный, физический и мате­матический маятники — примеры классических гармонических осцилляторов. Потенциальная энергия гармонического осциллятора (см. (141.5)) равна (222.1), где w₀ — собственная частота колебаний осциллятора, т — масса частицы. Зависи­мость (222.1) имеет вид параболы (рис. 300), т. е. «потенциальная яма» в данном случае является параболической.

Амплитуда малых колебаний классического осциллятора определяется его полной энергией Е (см. рис. 16). В точках с координатами ±x_max полная энергия Е равна потенциальной энергии. Поэтому с классической точки зрения частица не может выйти за пределы области (–x_max, +x_max). Таким образом, классический осциллятор находится в «потенциальной яме» с координатами – x_max <х< x_max «без права выхода» из нее.

Гармонический осциллятор в квантовой механике — квантовый осциллятор — описывается уравнением Шредингера (217.5), учитывающим выражение (222.1) для потенциальной энергии. Тогда стационарные состояния квантового осциллятора определяются уравнением Шредингера вида

(222.2) где Е — полная энергия осциллятора. В теории дифференциальных уравнений до­казывается, что уравнение (222.2) решается только при собственных значениях энергии   (222.3) Формула (222.3) показывает, что энергия квантового осциллятора может иметь лишь дискретные значения, т. е. квантуется. Энергия ограничена снизу отличным от нуля, как и для прямоугольной «ямы» с бесконечно высокими «стенками», минимальным значением энергии E₀=¹/₂ћw₀^. Существование минимальной энергии — она назы­вается энергией нулевых колебаний — является типичной для квантовых систем и пред­ставляет собой прямое следствие соотношения неопределенностей.

Наличие нулевых колебаний означает, что частица не может находиться на дне «потенциальной ямы», причем этот вывод не зависит от ее формы. В самом деле, «падение на дно ямы» связано с обращением в нуль импульса частицы, а вместе с тем и его неопределенности. Тогда неопределенность координаты становится сколь угодно большой, что противоречит, в свою очередь, пребыванию частицы в «потенциальной яме».

Вывод о наличии энергии нулевых колебаний квантового осциллятора противоречит выводам классической теории, согласно которой наименьшая энергия, которую может иметь осциллятор, равна нулю (соответствует покоящейся в положении равно­весия частице).

Билет 5

1. Способы получения когерентных волн и наблюдение стационарной интерференционной картины. Геометрическая и оптическая длина пути. Геометрическая и оптическая разность хода. Опыт Юнга. Условия минимумов и максимумов для разности хода и разности фаз.

Для получения когерентных волн можно разделять волны от одного источника с помощью отверстий в непрозрачном экране или основной и отраженный лучи тоже будут когерентны.

Оптической длиной пути называется произведение геометрической длины пути световой волны в данной среде на показатель преломления этой среды. Разность оптических длин путей, проходимых волнами, называется оптической разностью хода .

Геометрическая разность хода – реальная видимая на картинке, в метрах, а сколько один луч короче.

М етод Юнга. Источник света освещает щель (рис. 1.6). Пройдя через щель, свет образует конусообразный пучок света, падающий на две узкие щели и в непрозрачном экране. Щели и являются источниками когерентных вторичных волн, так как выделяют участки одного и того же фронта волны. Перекрываясь, световые пучки дают на экране Э систему интерференционных полос.

- условие максимумов, - условие минимумов.

При разности фаз колебания ослабят друг друга, при - усилят.

2. Поляризация света. Естественный и поляризованный свет. Виды поляризации. Поляроиды и поляризаторы для плоско поляризованного света. Закон Малюса. Получение и исследование плоско поляризованного света. Степень поляризации.

Л юбой естественный источник света содержит огромное число возбужденных атомов и молекул. Одинаково возбужденные атомы излучают световые волны одной и той же частоты, но с различными фазами и всевозможными ориентациями вектора . Свет со всевозможными равновероятными направлениями колебаний светового вектора называют естественным (рис. 3.1, а). Свет, в котором направления колебаний вектора каким-либо образом упорядочены, называют поляризованным. Свет, в котором имеется некоторое преимущественное направление колебаний светового вектора, называют частично поляризованным (рис. 3.1, б). И наконец, свет, в котором колебания вектора происходят только в одном направлении, называется линейно поляризованным (или плоскополяризованным) (рис. 3.1, в).

Плоскость, содержащая направление колебаний электрического вектора линейно поляризованной световой волны и направление распространения этой волны, называется плоскостью поляризации.

При наложении двух лучей одинаковой частоты (длины волны), поляризованных во взаимно перпендикулярных направлениях и имеющих постоянную разность фаз колебаний, в общем случае получается эллиптически поляризованный свет. В таком свете вектор изменяется так, что его конец описывает эллипс, лежащий в плоскости, перпендикулярной лучу. Если же амплитуды складываемых колебаний и будут равны, то свет называют циркулярно поляризованным или же поляризованным по кругу, поскольку конец светового вектора будет описывать круг (рис. 3.2).

Во многих прозрачных кристаллах наблюдается явление двойного лучепреломления – раздваивания падающего на кристалл светового пучка, при котором на выходе из кристалла получается два световых луча (рис. 3.3). Эти лучи являются плоскополяризованными во взаимно перпендикулярных плоскостях.

В анизотропном кристалле имеется направление, вдоль которого скорости распространения обыкновенного и необыкновенного лучей совпадают. Его называют оптической осью кристалла. Количество оптических осей зависит от типа симметрии кристалла. Кристаллы с одной оптической осью называются одноосными (например, исландский шпат, кварц). Если в кристалле две оптические оси, то он называется двуосным кристаллом (к примеру, слюда).

Устройства, изготавливаемые из анизотропных кристаллов, предназначенные для получения поляризованного света, называют поляризаторами. Если поляризатор применяется для анализа поляризованного света, его называют анализатором. Для изготовления поляризаторов (анализаторов) применяют анизотропные кристаллы с двойным лучепреломлением.

Для получения поляризованного света также используют двоякопреломляющие кристаллы, обладающие дихроизмом. Дихроизм – это неодинаковая степень поглощения обыкновенного и необыкновенного лучей света. В таких дихроичных кристаллах коэффициент поглощения света зависит от ориентации вектора . Например, из кристалла турмалина толщиной всего 1 мм выходит только необыкновенный луч. Еще сильнее поглощает один из лучей сернокислый йод-хинин (герапатит). Осаждая на целлулоидную пленку одинаково ориентированные кристаллики герапатита, можно получить поляризатор, поглощающий обыкновенный луч уже при толщине пленки 0,1 мм. Такие поляризационные устройства называются поляроидами.

Полученное уравнение выражает закон Малюса: интенсивность света, прошедшего через анализатор, равна интенсивности света, прошедшего через поляризатор, умноженной на квадрат косинуса угла между осями поляризатора и анализатора.

Поляризация света характеризуется величиной, названной степенью поляризации р0. Если на пути света поставить анализатор, то при вращении анализатора интенсивность света изменяется. Пусть  - интенсивность света, соответствующая наибольшему значению,   - интенсивность света при отклонении поляризатора на  /2 от угла, соответствующего наибольшему значению интенсивности  . Степень поляризации света определяется формулой (5):  (5)Для плоско поляризованного света  = 0, р0 = 1. Для неполяризованного света  , р0 = 0. Для частично поляризованного света р0 принимает промежуточное значение от 0 до 1.

Билет 6