Задание №4
На заданной территории расположен опасный объект, развитие аварийных ситуаций для которого характеризуется деревом сценариев (см. рисунок).
Здесь 1 – состояние нормального функционирования, а 2, 3,…, 10 – аварийные состояния. Вероятность перехода каждого объекта из i-го состояния в j-е подчиняется закону
,
где t
– время эксплуатации (для различных
вариантов значения представлены в
таблице 4),
– интенсивность отказов для вероятности
перехода объекта из i-го
состояния в j-е
состояние (для различных вариантов
представлены в таблице 5).
Функция распределения ожидаемого числа пострадавших для каждого i-го состояния подчиняется нормальному закону. В таблице 6 приводятся значения с.к.о. и вероятности того, что число пострадавших не превысит 100 человек (по вариантам). Величину математического ожидания Mi последствий можно найти по указанным значениям, используя метод подстановки или с помощью замены переменной и использования табличных значений функции Лапласа.
Для нормального состояния функционирования (состояния номер 1) последствия не учитываются.
Найти величину показателя риска R (среднюю величину ожидаемых потерь).
Таблица 4.1
i |
15 |
t, час |
570 |
Таблица 4.2
№ вар. |
|
||||||||||
j i |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
15, 16 |
1 |
0,2 |
0,5 |
0,7 |
0,8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1,8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,3 |
1,6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,9 |
1,3 |
0 |
0 |
0 |
|
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,5 |
0 |
0 |
0 |
|
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,6 |
0,6 |
0 |
|
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,2 |
0,8 |
0,6 |
|
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,8 |
0,4 |
Таблица 4.3
Номер варианта |
|
Состояние, i |
||||||||
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
||
15 |
|
21 |
24 |
24 |
29 |
23 |
14 |
19 |
24 |
30 |
F(100) |
0,5 |
0,7 |
0,69 |
0,5 |
0,58 |
0,72 |
0,5 |
0,56 |
0,65 |
|
Решение
Вычислим вероятности переходов из состояния нормального функционирования в каждое из аварийных состояний.
Вычисляем по приведенной формуле вероятности перехода из i-го состояния в j-ое (по программе Microsoft Excel):
,
Вероятность перехода в состояние 2:
=
1 – exp(-0,000002·570)
= 0,001139;
Вероятность перехода в состояние 3:
=
1 – exp(-0,000005·570)
= 0,002846;
Вероятность перехода в состояние 4:
=
1 – exp(-0,000007·570)
= 0,003982;
Вероятность перехода в состояние 5:
=
1 – exp(-0,000008·570)
= 0,00455;
Вероятность перехода в состояние 6:
=
·
+
·
= 0,001139·(1 – exp(-0,000018·570))
+ 0,002846·(1 – exp(-0,000003·570))
= 0,0000164;
Вероятность перехода в состояние 7:
=
·
+
·
= 0,002846·(1 – exp(-0,000016·570))
+ 0,003982· (1 – exp(-0,00009·570))
= 0,0000224;
Вероятность перехода в состояние 8:
=
·
+
·
=
0,003982·(1 – exp(-0,000013·570))
+ 0,00455·(1 – exp(-0,000005·570))
= 0,0000423;
Вероятность перехода в состояние 9:
=
·
+
·
= 0,0000164·(1 – exp(-0,000006·570))
+0,0000224·(1 – exp(-0,000002·570))
= 0,27·10–6;
Вероятность перехода в состояние 10:
=
·
+
·
+
·
= 0,0000164·(1 – exp(-0,000006·570))
+ 0,0000224·(1 – exp(-0,000008·570))
+ 0,0000423·(1 – exp(-0,000008·570))
= 0,348·10–6;
Вероятность перехода в состояние 11:
=
·
+
·
= 0,0000224·(1 – exp(-0,000006·570))
+ 0,0000423·(1 – exp(-0,000004·570))
= 0,208·10–6;
Вычислим величину показателя риска Ri для каждого аварийного состояния.
,
где
Ri – величина показателя риска для i-го аварийного состояния,
Рi – вероятность перехода в i-ое состояние,
Qi – величина последствий i-го аварийного состояния (ожидаемое число погибших),
Qi = mi , где mi – математическое ожидание i-го аварийного состояния
,
где
T = 100 – число пострадавших,
σi – с.к.о. i-го аварийного состояния.
Величина последствий i-го аварийного состояния рассчитывается по формуле:
;
Для практических расчетов в случае нормального закона
распределения применяют функцию Лапласа.
;
Функция φ(x)– четная, т.е. φ(-x)=φ(x), и, следовательно,
Ф(-z)=1-Ф(z).
По таблице значений функции Лапласа находим Zi.
Результаты сведем в таблицу:
Таблица 4.4
-
Состояние, i
F (100)
Zi
σi
mi = Qi
2
0,5
0
21
100
3
0,7
0,53
24
87,28
4
0,69
0,5
24
88
5
0,5
0
29
100
6
0,58
0,21
23
95,17
7
0,72
0
14
100
8
0,5
0,59
19
88,79
9
0,56
0,16
24
96,16
10
0,65
0,39
30
88,3
Таблица 4.4
Вычислим величину показателя риска Ri:
Величина показателя риска для 2-го аварийного состояния:
=
0,001139·100 = 0,1139;
Величина показателя риска для 3-го аварийного состояния:
=
0,0028466·87,28 = 0,2484;
Величина показателя риска для 4-го аварийного состояния:
=
0,003982·88 = 0,350416;
Величина показателя риска для 5-го аварийного состояния:
0,00455·100
= 0,455;
Величина показателя риска для 6-го аварийного состояния:
0,0000164·95,17
= 0,00156;
Величина показателя риска для 7-го аварийного состояния:
0,0000224·100
= 0,00224;
Величина показателя риска для 8-го аварийного состояния:
0,0000423·88,79
= 0,003755;
Величина показателя риска для 9-го аварийного состояния:
=
0,27·10–6·96,16
= 0,0000259;
Величина показателя риска для 10-го аварийного состояния:
0,348·10–6·88,3
= 0,0000307;
Суммарная величина
показателя риска по всем аварийным
ситуациям равна:
0,1139 + 0,2484 + 0,350416 + 0,455 + 0,00156 + 0,00224 + 0,003755 +
0,0000259 + 0,0000307 = 1,1753.
Следовательно, средняя величина ожидаемых потерь более 1 человека.