Задание №3

Система состоит из 10 элементов соединенных последовательно в смысле надежности. У первых 5 элементов наработка на отказ подчиняется нормальному закону распределения, у последних 5 – экспоненциальному закону. Последние 5 элементов работают в условиях, которые учитываются коэффициентом нагрузки. Значение этих коэффициентов представлено ниже. Параметры законов распределения соответствуют значениям, полученным в задании 1. Для отдельных элементов системы применено резервирование с параметрами, представленными ниже. Также указано значение времени, для которого нужно рассчитать надежность резервированной системы. Необходимо определить выигрыш по вероятности отказа для заданного времени и по величине средней наработки на отказ. При определении значения наработки на отказ считать, что вся резервированная система подчиняется экспоненциальному закону надежности. Для случая дробной кратности резервирования считать, что используется безотказный элемент голосования.

Таблица 3.1

i	15
	1,6

Тип резервирования:

для элементов 1-5 – поэлементное постоянное, кратность = 1;

для элементов 6-10 – общее замещением, кратность = 2;

Т = 250 час.

Расчетная часть Схема нерезервированной системы:

Вероятность безотказной работы системы, состоящей из элементов, соединенных последовательно в смысле надежности равна:

,

где Р_н.р – вероятность безотказной работы нерезервированной системы;

Р_i – вероятность безотказной работы i-го элемента i = 1,2,…,10;

N – количество элементов в системе.

Вероятность безотказной работы элементов под номерами 1,2,3,4,5 подчиняется нормальному закону:

t=250час;

Q_{норм.нер}= 0,074042

Р_{норм.нер}=1-Q_{норм.нер}= 1 – 0,074042 = 0,925958

Вероятность безотказной работы элементов под номерами 6,7,8,9,10 подчиняется экспоненциальному закону:

,

где Р_i – вероятность безотказной работы i-го элемента i = 6,7,…,10;

λ_i – интенсивность отказов i-го элемента i = 6,7,…,10;

t – время работы системы, t = 250час.

Р_{экс.нер}= 0,994231

Вероятность безотказной работы всей нерезервированной системы равна:

Р_нр = Р_{норм нер} ∙ Р_{экс.нер} = 0,925958⁵ ∙ 0,994231⁵ = 0,066129

Вероятность отказа всей нерезервированной системы равна:

;

.

Наработка до отказа системы вычисляется по формуле:

;

Наработка на отказ у первых 5 элементов подчиняется нормальному закону надежности и вычисляется по формуле вероятности безотказной работы для первых 5 элементов:

,

где, t – время, t = 250час;

- математическое ожидание, которое вычислили в пункте 1:

= 1099 часов;

- оценка среднеквадратического отклонения, которое вычислили в пункте 1: = 366,4 часов;

Вычисляем вероятность безотказной работы для первых 5 элементов в программе Microsoft Excel по формуле: P(t)1-5=1 – (1/σ ) ∫e^{-(t-m)²/2σ²}=1-(1/366,4∙ )∫e^{-(250-1099)²/732,8²}=0,899256

Наработка на отказ последних 5 элементов подчиняется экспоненциальному закону надежности и вычисляется по формуле вероятности безотказной работы для последних 5 элементов:

,

где, – интенсивность отказов, = 9,42∙10^-4час^-1 найденная в пункте 1.

t – время, t =250 час.

Интенсивность отказов последних 5 элементов учитываются коэффициентом нагрузки К_н = 1,6:

,

λ6-10=1,6∙9,42∙10^-4час^-1=0,001507 час^-1;

Вычисляем вероятность безотказной работы для первых 5 элементов в программе Microsoft Excel по формуле:

P(t)_6-10=e^-λ∙t= e^{-0,001507∙250}=0,886088;

При последовательном соединении элементов вероятность безотказной работы системы равна:

=Р1-5∙Р6-10=((0,899256) ⁵∙(0,886088) ⁵=0,5880533∙0,546240=0,780414;

Вероятность отказа нерезервированной системы равна:

Qн.c=1-Рн.c;

Qн.c=1-0,780414=0,219586;

Интенсивность отказа системы можно вычислить по формуле вероятности безотказной системы:

P(t)=e^-λ∙t;

Из этой формулы выражаем интенсивность отказа системы (λн.р):

ln Pн.с=-λн.р∙t

λн.р=- ln Pн.c/ t; λн.р=- ln 0,780414/250=0,0230775;

Наработка до отказа системы вычисляется по формуле:

,

отсюда средняя наработка до отказа нерезервированной системы равна:

1/0,0230775=43,3 часов.

В случае повышения надежности системы таким образом, что для первых 5 элементов используем поэлементное постоянное резервирование, а для последних 5 элементов - поэлементное замещением, схема системы будет выглядеть:

Схема резервированной системы:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

6

7

8

9

10

Так как участки, состоящие из элементов 1 – 5 и 6 – 10 соединены последовательно в смысле надежности, то вероятность безотказной работы резервированной системы находится по формуле:

,

где Р_р – вероятность безотказной работы резервированной системы;

Р_1-5 –вероятность безотказной работы участка, состоящего из элементов 1– 5;

Р_6-10–вероятность безотказной работы участка, состоящего из элементов 6-10.

Рассмотрим участок 1 – 5:

Кратность резервирования участка 1 – 5 равна одному (k =1):

Вероятность отказа резервированной системы вычисляется по формуле:

,

Вероятность безотказной работы резервированного участка 1-5 равна:

P_1-5 = 1-Q_1-5=1-0,536646=0,463354.

Рассмотрим участок 6 – 10:

При резервировании замещением вероятность безотказной работы участка 6– 10 будет равна:

,

где λ – интенсивность отказов участка 6 – 10:

t – время работы системы, t = 250 час;

k – кратность резервирования участка 6 – 10 (k = 2).

Вероятность безотказной работы резервированного участка цепи равна:

P_ip= e^-λ∙t∑(λ_6-10∙t)ⁱ/i!

где λ – интенсивность отказов участка 6 – 10.

Вычисляем по программе Microsoft Excel:

P_ip=e^-λ∙t∑(λ_6-10∙t)ⁱ/i!=e^{-0,001507 ∙250}[(0,001507 ∙250)/0!]+[( 0,001507 ∙250)/1!]+ [(0,001507 ∙250)/2!]= e^{-0,001507 ∙110}[(0,001507 ∙250)/1] +[(0,001507 ∙250)/1]+

[(0,001507 ∙250)/2∙1]=0,07535[0,02187+0,02187+0,188375]=0,017489;

Вычисляем вероятность безотказной работы участка 6-10 (при резервировании поэлементным замещением):

=(0,017489)⁴=0,093∙10^-6;

Таким образом, вероятность безотказной работы резервированной системы равна:

Р_р.с=Р_1-5р∙Р_6-10р=0,463∙0,093∙10^-6=0,043059∙10^-6;

Вероятность отказа резервированной системы равна:

Q_p.c=1-P_p.c;

Q_p =1-0,043059∙10^-6=0,95600088;

Выигрыш по вероятности отказа при первом подходе повышения надежности системы равен:

;

B_Q = 0,94387/0,95600088=0,98735056;

Интенсивность отказов системы можно оценить, предполагая, что вероятность безотказной работы системы подчиняется экспоненциальному закону, исходя из формулы:

,

где Р_р.с – вероятность безотказной работы резервированной системы. Из предыдущих расчетов Р_р.с =0,043059∙10^-6;

λ_р – интенсивность отказов системы;

t – время работы системы. t = 250 часов.

Прологарифмируем выражение для вероятности безотказной работы системы:

λ_р = -ln 0,043059∙10^-6 /250 = 0,224(час^-1).

В случае экспоненциального закона распределения средняя наработка до отказа равна:

;

τ_р = 1/0,224=4,46 (часов).

Выигрыш по средней наработке до отказа при этом подходе повышения надежности системы равен:

;

В_τ = 4,46/43,3=0,103.

Определили следующие выигрыши:

• По вероятности отказа B_Q = 0,98;

• По величине средней наработки В_τ = 0,103.