Задание №4
На заданной территории расположен опасный объект, развитие аварийных ситуаций для которого характеризуется деревом сценариев (см. рисунок).
Здесь 1 – состояние нормального функционирования, а 2, 3,…, 10 – аварийные состояния. Вероятность перехода каждого объекта из i-го состояния в j-е подчиняется закону
,
где
t
– время эксплуатации (для различных
вариантов значения представлены в
таблице 4),
– интенсивность отказов для вероятности
перехода объекта из i-го
состояния в j-е
состояние (для различных вариантов
представлены в таблице 5).
Функция распределения ожидаемого числа пострадавших для каждого i-го состояния подчиняется нормальному закону. В таблице 6 приводятся значения с.к.о. и вероятности того, что число пострадавших не превысит 100 человек (по вариантам). Величину математического ожидания Mi последствий можно найти по указанным значениям, используя метод подстановки или с помощью замены переменной и использования табличных значений функции Лапласа.
Для нормального состояния функционирования (состояния номер 1) последствия не учитываются.
Найти величину показателя риска R (среднюю величину ожидаемых потерь).
Таблица 4.1
i |
9 |
t, час |
565 |
Таблица 4.2
№ вар. |
|
|
||||||||||
j i |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
||
9,10 |
1 |
0,3 |
0,4 |
0,8 |
0,8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1,8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,5 |
1,5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1,2 |
0 |
0 |
0 |
|
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,5 |
0 |
0 |
0 |
|
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,4 |
0,4 |
0 |
|
7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,3 |
0,8 |
0,6 |
|
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,8 |
0,4 |
Таблица 4.3
Номер варианта |
|
Состояние, i |
||||||||
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
||
9 |
|
22 |
26 |
19 |
33 |
21 |
13 |
21 |
30 |
27 |
F(100) |
0,23 |
0,7 |
0,4 |
0,5 |
0,9 |
0,3 |
0,5 |
0,4 |
0,7 |
|
Решение
Вычислим вероятности переходов из состояния нормального функционирования в каждое из аварийных состояний.
Вычисляем по приведенной формуле вероятности перехода из i-го состояния в j-ое (по программе Microsoft Excel):
,
Вероятность перехода в состояние 2:
=
1 – exp(-0,000003·565)
= 0,001694;
Вероятность перехода в состояние 3:
=
1 – exp(-0,000004·565)
= 0,002257;
Вероятность перехода в состояние 4:
=
1 – exp(-0,000008·565)
= 0,0045;
Вероятность перехода в состояние 5:
=
1 – exp(-0,000008·565)
= 0,0045;
Вероятность перехода в состояние 6:
=
·
+
·
= 0,001694·(1
– exp(-0,000018·565))
+ 0,002257·(1
– exp(-0,000005·565))
= 0,000023506;
Вероятность перехода в состояние 7:
=
·
+
·
= 0,002257·(1
– exp(-0,000015·565))
+ 0,0045·
(1 – exp(-0,00001·565))
= 0,00004435;
Вероятность перехода в состояние 8:
=
·
+
·
=
0,0045·(1 – exp(-0,000012·565))
+ 0,0045·(1 – exp(-0,000005·565))
= 0,00004309;
Вероятность перехода в состояние 9:
=
·
+
·
= 0,000023506·(1 – exp(-0,000004·565))
+0,00004435·(1 – exp(-0,000003·565))
= 0,128·10–6;
Вероятность перехода в состояние 10:
=
·
+
·
+
·
= 0,000023506·(1 – exp(-0,000004·565))
+ 0,00004435·(1 – exp(-0,000008·565))
+ 0,00004309·(1 – exp(-0,000008·565))
= =0,447·10–6;
Вероятность перехода в состояние 11:
=
·
+
·
= 0,00004435·(1 – exp(-0,000006·565))
+ +0,00004309·(1 – exp(-0,000004·565))
= 0,247·10–6;
Вычислим величину показателя риска Ri для каждого аварийного состояния.
,
где
Ri – величина показателя риска для i-го аварийного состояния,
Рi – вероятность перехода в i-ое состояние,
Qi – величина последствий i-го аварийного состояния (ожидаемое число погибших),
Qi = mi , где mi – математическое ожидание i-го аварийного состояния
,
где
T = 100 – число пострадавших,
σi – с.к.о. i-го аварийного состояния.
Величина последствий i-го аварийного состояния рассчитывается по формуле:
;
Для практических расчетов в случае нормального закона
распределения применяют функцию Лапласа.
;
Функция φ(x)– четная, т.е. φ(-x)=φ(x), и, следовательно,
Ф(-z)=1-Ф(z).
П
о
таблице значений функции Лапласа
находим Zi.
Результаты сведем в таблицу:
Таблица 4.4
-
Состояние, i
F (100)
Zi
σi
mi = Qi
2
0,23
0
22
100
3
0,7
0,53
26
86,22
4
0,4
0
19
100
5
0,5
0
33
100
6
0,9
1,29
21
72,91
7
0,3
0
13
100
8
0,5
0
21
100
9
0,4
0
30
100
10
0,7
0,53
27
85,69
Вычислим величину показателя риска Ri:
Величина показателя риска для 2-го аварийного состояния:
=
0,001694·100
= 0,1694;
Величина показателя риска для 3-го аварийного состояния:
=
0,002257∙86,22
= 0,1945;
Величина показателя риска для 4-го аварийного состояния:
=
0,0045·100
= 0,45;
Величина показателя риска для 5-го аварийного состояния:
0,0045·100
= 0,45;
Величина показателя риска для 6-го аварийного состояния:
0,000023506·72,91
= 0,00171;
Величина показателя риска для 7-го аварийного состояния:
0,00004435·100
= 0,004435;
Величина показателя риска для 8-го аварийного состояния:
0,00004309·100=
0,004309;
Величина показателя риска для 9-го аварийного состояния:
=
0,128·10–6·100
= 0,128·10–4;
Величина показателя риска для 10-го аварийного состояния:
0,447·10–6·85,69
= 0,0000383;
Суммарная величина
показателя риска по всем аварийным
ситуациям равна:
0,1694+ 0,1945+ 0,45+ 0,45+ 0,00171+ 0,004435+ 0,004309+ 0,128·10–4+
0,0000383= 1,274
Следовательно, средняя величина ожидаемых потерь более 1 человека.