Задание №3

Система состоит из 10 элементов соединенных последовательно в смысле надежности. У первых 5 элементов наработка на отказ подчиняется нормальному закону распределения, у последних 5 – экспоненциальному закону. Последние 5 элементов работают в условиях, которые учитываются коэффициентом нагрузки КН=1,3. Параметры законов распределения соответствуют значениям, полученным в задании 1. Для системы применено следующее резервирование: 1-5 общее постоянное резервирование с кратностью 2, 6-10 применено общее с замещением с кратностью 2.

Время работы системы t = 120 час.

Необходимо определить выигрыш по вероятности отказа для заданного времени и по величине средней наработки на отказ. При определении значения наработки на отказ считать, что вся резервированная система подчиняется экспоненциальному закону надежности. Для случая дробной кратности резервирования считать, что используется безотказный элемент голосования.

Решение Схема нерезервированной системы будет выглядеть:

Наработка на отказ у первых 5 элементов подчиняется нормальному закону надежности. Формула для расчета вероятности безотказной работы:

,

где t – время, t = 120 час;

- математическое ожидание,

= 1087,08 час.

- оценка среднеквадратического отклонения, которое вычислили в пункте 1:

= 483,49 час

Вычисляем вероятность безотказной работы для каждого из первых 5 элементов в программе Microsoft Excel по формуле:

= 1 – ( 1/648,08 ) = 0,977261

Наработка на отказ последних 5 элементов подчиняется экспоненциальному закону надежности и вычисляется по следующей формуле:

,

где – интенсивность отказов, = 0,00092 час^-1 найденная в пункте 1.

Интенсивность отказов каждого из последних 5 элементов с учетом коэффициента нагрузки К_н = 1,3 рассчитывается по формуле:

, 1,3·0,00092 = 0,001196 .

Вычислим вероятность безотказной работы для последних 5 элементов в программе Microsoft Excel по формуле:

P(t) = = = 0,866303;

При последовательном соединении элементов вероятность безотказной работы системы рассчитывается по формуле:

,

((0,977261)^5) * (0,866303)^5)= 0,891359*0,48792=0,4349

Вероятность отказа нерезервированной системы рассчитываем по формуле:

Qн.р = 1 – 0,4349= 0,5651

Интенсивность отказа системы вычисляем по формуле вероятности безотказной системы:

Из этой формулы выразим интенсивность отказа системы ( ):

ln Pн.р = - ,

= - ln 0,4349/120 = 0,006938

Наработку системы до отказа вычисляется по формуле:

,

отсюда наработка системы до отказа равна:

= 1/ 0,006938 = 144,13 час.

Рисунок 3.1 - Схема для расчета оценки вероятности безотказной работы резервированной системы

Так как участки, состоящие из элементов 1 – 5 и 6 – 10 соединены последовательно в смысле надежности, то вероятность безотказной работы резервированной системы находится по формуле:

, (1)

где Р_р – вероятность безотказной работы резервированной системы;

Р_1-5 – вероятность безотказной работы участка, состоящего из элементов 1– 5;

Р_6-10 – вероятность безотказной работы участка, состоящего из элементов 6– 10.

Рассмотрим участок 1-5:

Вероятность безотказной работы участка 1-5 : P1-5 = 0,891359 (данное значение нашли из предыдущего расчета).

Для нахождения вероятности отказа системы на участке 1-5 используем формулу:

Q1-5 = 1 - P1-5 ,

Q1-5 = 1 – 0,891359= 0,108641

Находим вероятность отказа резервированного участка цепи, для этого применяем формулу:

Q1-5 рез = (Q1-5)

Q1-5 рез = (0,108641)³ = 0,00128

Находим вероятность безотказной работы резервированного участка цепи по формуле:

P 1-5 pез = 1- Q1-5 рез ,

P 1-5 pез = 1 - 0,00128 = 0,99872

Рассмотрим участок 6 – 10:

При резервировании с общим замещением, вероятность безотказной работы при к =2, находим по формуле:

Ррез = ( 1 + )

P6-10рез = (1 + 0,00598·120)· = 0,83805

где - интенсивность отказов последних 5 элементов равна 0,00598 .(так как для одного элемента 00,001196 , то для 5 элементов 0,001196 ·5= 0,00598).

Таким образом, вероятность безотказной работы резервированной системы равна:

Рр = 0,99872* 0,83805= 0,836977

Вероятность отказа резервированной системы находим по формуле:

Qрез = 1-Pрез ;

Qрез = 1- 0,836977 = 0,163023

Выигрыш по вероятности отказа при первом подходе повышения надежности системы рассчитываем по формуле:

;

Выигрыш по вероятности отказа при первом подходе повышения надежности системы:

BQ = 0,5651/0,163023= 3,466 час.

Интенсивность отказов системы можно оценить, предполагая, что вероятность безотказной работы системы подчиняется экспоненциальному закону, исходя из формулы:

,

где Р_р – вероятность безотказной работы резервированной системы. Из предыдущих расчетов Р_р = 0,836977;

λ_р – интенсивность отказов системы;

t – время работы системы. t = 120часов.

Прологарифмируем выражение для вероятности безотказной работы системы:

λ_р = -ln 0,836977/120 = 0,00148 (час^-1).

В случае экспоненциального закона распределения средняя наработка до отказа рассчитываем по формуле:

;

Средняя наработка до отказа:

τ_р = 1/0,00148 = 675,67 час.

Выигрыш по средней наработке до отказа при этом подходе повышения надежности системы рассчитываем по формуле:

;

Выигрыш по средней наработке до отказа при этом подходе повышения надежности системы:

В_τ = 675,67 /144,13 = 4,6879.

Определили следующие выигрыши:

По вероятности отказа: B_Q = 3,466 час;

По величине средней наработки: B_τ = 4,6879.