Задание №2

Дана схема соединения элементов системы в смысле надежности (номер схемы 9).

Вероятности безотказной работы элементов P_i, i=1,2,…13, приведены в табл. 2.1

Требуется произвести расчет надежности:

а) каким-либо точным методом (по выбору);

б) приближенными методами: минимальных путей и минимальных сечений.

Примечание: Точки входа и выхода схемы обозначены соответственно "а" и "в".

Таблица 2.1

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
Pi	0.87	0.96	0.92	0.84	0.88	0.94	0.87	0.86	0.93	0.94	0.79	0.95	0.89

Рисунок 2.1 - Схема соединения элементов системы в смысле надежности

Решение

Расчет надежности системы точным методом

Данная схема не сводится к последовательно-параллельной, следовательно, это система сложной структуры. Расчет надежности можно произвести методом разложения относительно особого элемента. Этот метод основан на использовании формулы полной вероятности:

,

где P{H_i} – вероятность того, что особый элемент находится в состоянии H_i;

P{A/Hi} – вероятность состояния А при условии, что особый элемент находится в состоянии H_i

В данном случае особыми элементами являются элементы №3, №8,№ 9. Рассмотрим 8 гипотез:

H₁ – неработоспособны все три особых элемента;

H₂ – элементы №8 и №9 неработоспособны, №3 работоспособен;

H₃ – элементы №3 и №9 неработоспособны, №8 работоспособен;

H₄ – элемент №3 и №8 неработоспособны, №9 работоспособен;

H₅ – элемент №3 неработоспособен, №8 и №9 работоспособны;

H₆ – элементы №8 неработоспособен, №3 и №9 работоспособны;

H₇ – элемент №9 неработоспособен, №3 и №8 работоспособны;

H₈ – все три особых элемента работоспособны.

Рисунок 2.2 - Схема соединения элементов системы в смысле надежности в случае возникновения гипотезы Н₁

Вероятность наступления гипотезы Н₁: ;

Формулы для расчета вероятности безотказной работы системы при условии наступления гипотезы Н₁:

= (1– (1 – 0,87·0,96·0,84)∙(1 – 0,88∙0,94∙0,87)∙(1-0,94∙0,79·0,95·0,89)) = 0,96885

Рисунок 2.3 - Схема соединения элементов системы в смысле надежности в случае возникновения гипотезы Н₂

Вероятность наступления гипотезы Н₂:

= (1 – 0,86)∙(1 – 0,93)∙0,92 = 0,00901

Формулы для расчета вероятности безотказной работы системы при условии наступления гипотезы Н₂:

0,97483

=

(1– (1 – 0,94·0,79·0,95∙0,89)·(1 – 0,97753·0,97483)) = 0,98248

Рисунок 2.4 - Схема соединения элементов системы в смысле надежности в случае возникновения гипотезы Н₃

Вероятность наступления гипотезы Н₃:

= (1– 0,92)·0,86·(1 – 0,93) = 0,00481

Формулы для расчета вероятности безотказной работы системы при условии наступления гипотезы Н₃:

=

(1– (1 – 0,87·0,96·0,84)·(1 – 0,9724·0,96427)) = 0,98139

Рисунок 2.5 - Схема соединения элементов системы в смысле надежности в случае возникновения гипотезы Н₄

Вероятность наступления гипотезы Н₄:

= (1– 0,92)∙(1-0,86)∙0,93 = 0,01041

Формулы для расчета вероятности безотказной работы системы при условии наступления гипотезы Н₄:

= (1 - (1 -0,87∙0,96∙0,84)∙(1-0,95688∙0,97875) = 0,98106

Рисунок 2.6 - Схема соединения элементов системы в смысле надежности в случае возникновения гипотезы Н₅

Вероятность наступления гипотезы Н₅:

= (1-0,92)·0,86·0,93 = 0,06398

Формулы для расчета вероятности безотказной работы системы при условии наступления гипотезы Н₅:

=

(1– (1 – 0,87·0,96∙0,84)·(1 – 0,9748·0,997·0,97875)) = 0,98544

Рисунок 2.7 - Схема соединения элементов системы в смысле надежности в случае возникновения гипотезы Н₆

Вероятность наступления гипотезы Н₆:

= 0,92∙(1-0,86)∙0,93 = 0,11978

Формулы для расчета вероятности безотказной работы системы при условии наступления гипотезы Н₆:

= 0,95688·0,99588 = 0,95294

Рисунок 2.8 - Схема соединения элементов системы в смысле надежности в случае возникновения гипотезы Н₇

Вероятность наступления гипотезы Н₇

= 0,92·0,86·(1-0,93) = 0,05538

Данная схема не сводится к последовательно-параллельной, следовательно, это система сложной структуры. Расчет надежности можно произвести методом повторного разложения относительно особого элемента №8.

Рассмотрим 2 гипотезы:

Н₁⁸ – Элемент №6 работоспособен;

Н₂⁸ – Элемент №6 неработоспособен;

Рисунок 2.9 - Схема соединения элементов системы в смысле надежности в случае возникновения гипотез Н₇ и Н₁⁶

Вероятность наступления гипотезы Н₁⁶ при условии наступления гипотезы Н₇:

· = 0,94·0,05538= 0,05206

=

((1 – (1 – 0,87)·(1 – 0,88)·(1 – 0,79))·((1 – (1 – 0,96·0,84)·(1 – 0,87)·(1 – 0,94∙0,95·0,89)) = 0,991575

Рисунок 2.10 - Схема соединения элементов системы в смысле надежности в случае возникновения гипотез Н₇ и Н₂⁶

Вероятность наступления гипотезы Н₂⁸ при условии наступления гипотезы Н₇:

· = 0,06·0,05538= 0,0033228

= (1 – (1 – 0,87)· (1 – 0,96·0,84)·(1 – 0,87))·(1 – (1 – 0,88)(1 – 0,79)·(1 - 0,94∙0,95·0,89)) = 0,991573

Формулы для расчета вероятности безотказной работы системы при условии наступления гипотезы Н₇

· + · = 0,05206·0,991575+ 0,0033228·0,991573= 0,054915

Рисунок 2.11 - Схема соединения элементов системы в смысле надежности в случае возникновения гипотезы Н₈

Вероятность наступления гипотезы Н₈

= 0,92· 0,86·0,93 = 0,735816

Формулы для расчета вероятности безотказной работы системы при условии наступления гипотезы Н₈:

= (1 – (1 – (1 – (1 – 0,88)·(1 – 0,79))·(1 – (1 – 0,94)·(1 – 0,95))·(1 – 0,87))·(1 – (1 – 0,96∙0,84)·(1 – 0,87)·(1 – 0,94∙0,89)) = 0,97452

Формулы для расчета вероятности безотказной работы системы:

· + … + · = 0,00078·0,96885 + 0,00901·0,98248 + 0,00481·0,98139 + 0,01041·0,98106 + 0,06398·0,98544 + 0,11978·0,95294 + 0,05538·0,054915+ 0,735816·0,97452 = 0,99183

Расчет надежности системы приближенными методами

Метод минимальных путей и минимальных сечений является приближенным методом расчета надежности невосстанавливаемых систем сложной структуры.

Метод минимальных путей позволяет находить оценку вероятности безотказной работы сверху.

В данной схеме некоторые минимальные пути:

1) 1,2,4

2) 11,12,13,10

3) 5,6,7

4) 1, 3,7

5) 5,8,12,13,10

6) 5,6,9,13,10

7) 5,6,3,2,4

8) 11,8,6,7

4

2

1

. . . . . . .

11

8

7

6

Рисунок 2.12 - Схема для расчета оценки вероятности безотказной работы сверху

Расчет вероятности безотказной работы сверху:

=1-(1-0,87·0,96·0,84) ·…·(1-0,79·0,86·0,94·0,87) = 0,999769

Метод минимальных сечений позволяет находить оценку вероятности безотказной работы снизу. В данной схеме минимальные сечения:

1. 1,5,11

2) 1,6,12

3) 2,7,13

4) 2,3,6,12

5) 1,6,12

6) 1,8,11

7) 1,6,9,13

8) 1,5,8,12

Рисунок 2.13 - Схема для расчета оценки вероятности безотказной работы снизу

Расчет вероятности безотказной работы снизу:

(1-(1-0,87) ∙ (1-0,88) ∙ (1-0,79)) ∙ ………∙ (1-(1-0,87) ∙ (1-0,88) ∙ (1-0,86)∙(1-0,95)) = 0,99136

Значение, найденное методом разложения относительно особого элемента Р_С, принадлежит промежутку .

0,99136≤ 0,99183≤0,999769