Решение

РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМЫ

Определение средней наработки системы до отказа .

К числу показателей надежности невосстанавливаемых систем, являющихся числовыми характеристиками случайных величин, относится средняя наработка до отказа (среднее время безотказной работы) – математическое ожидание случайной величины Т наработки до отказа (или времени безотказной работы). При этом статистическая оценка до отказа:

= ,

где t_i – время отказа i-го экземпляра системы;

N – количество экземпляров; N = 25.

=(121+232+295+367+513+664+744+864+942+1062+1116+1157+1211+1271+1286+1314+1363+1380+1455+1465+1572+1603+1649+1687+1844) / 25 = 27177/ 25 = 1087,08 час

Определение оценки среднеквадратического отклонения времени отказа системы .

,

где t_i – время отказа i-го экземпляра системы;

- оценка средней наработки до отказа. ( = 1087,08 час);

N – количество экземпляров; (N = 25.)

,

= = = 483,49 час

Построение графиков зависимости оценки вероятности отказов от времени по результатам испытаний .

Статистическая оценка вероятности отказа Q(t) при фиксированном значении t = t₁:

N = 25,

Таблица 1.2

	1/25	2/25	3/25	4/25	5/25	6/25	7/25	8/25	9/25	10/25	11/25	12/25	13/25
t, час	121	232	295	367	513	664	744	864	942	1062	1116	1157	1211
	14/25	15/25	16/25	17/25	18/25	19/25	20/25	21/25	22/25	23/25	24/25	25/25
t, час	1271	1286	1314	1363	1380	1455	1465	1572	1603	1649	1687	1844

Рисунок 1.1 – Зависимость оценки вероятности отказов от времени

Подбор зависимости для функции распределения

Расчет значений статистического ряда и построение соответствующей ему гистограммы.

Формула Стерджесса для определения оптимального количества групп:

n = 1+ 3,322*lgN = 1 + 3,322*lg25 = 5 групп

t [121, 1844], Δt = 1844/5 = 368,8час

t+Δt	N(t+Δt)
0-368,8	4
368,8-737,6	2
737,6-1106,4	4
1106,4-1475,2	10
1475,2-1844	5

Рисунок 1.2 - Распределение количества отказов во времени

Расчет параметров для экспоненциального закона , апроксимирующих результаты испытания ( ). Функция распределения имеет вид: F (t) = 1 – e ^{- λt}

Оценка интенсивности отказов равна:

,

где - оценка средней наработки до отказа, которая найдена в п.п 1.1 ( ); Тогда

.

Таким образом: F (t) = 1 –

Нахождение параметров усеченного нормального закона

При усеченном нормальном законе распределения наработки системы до отказа

,

где t_max – время отказа последнего экземпляра; t_max = 1844 час;

;

из закона 3 оценка среднеквадратического отклонения равна:

.

Найти параметры нормального закона

При нормальном законе распределения наработки системы до отказа

Оценка среднеквадратического отклонения времени отказа системы , вычисленная в п.п. 1.2, равна = 483,49 час

Графики апроксимирующих зависимостей , , ;

— Рассчитаем вероятность отказа системы в момент времени t

для экспоненциального закона распределения наработки системы до отказа.

Функция распределения имеет вид: F (t) = 1 –

— Рассчитаем оценку вероятности отказа системы в момент времени t для нормального закона распределения наработки системы до отказа.

Функция распределения наработки системы до отказа имеет вид:

= НОРМРАСП (x; m; σ; тип) = НОРМРАСП (t ; 922; 307,3; 1)

— Рассчитаем оценку вероятности отказа системы в момент времени t для нормального усеченного закона распределения наработки системы до отказа

= (НОРМРАСП (t; m; ; тип) - F (0))·С ₁, где

С₁ – нормирующий множитель, С₁ = 1/(1 - F (0))

F (0) = НОРМРАСП(0; 1087,08; 483,49; 1) = 0,012275

С₁ = 1/(1- F (0)) = 1/(1-0,012275) = 1,0125

= (НОРМРАСП( t; 1087,08; 483,49; 1) -0,012275)·1,0125

Результаты приведены в таблице:

№	t
1	121	0,1053476	0,010708	0,004573
2	232	0,1921994	0,0265365	0,012372
3	295	0,2376885	0,0388894	0,020658
4	367	0,2865479	0,0566233	0,035455
5	513	0,3762215	0,1065823	0,091603
6	664	0,4571271	0,1807284	0,200575
7	744	0,4956476	0,2295378	0,281214
8	864	0,5483646	0,3138573	0,425148
9	942	0,5796384	0,3744099	0,525946
10	1062	0,6235763	0,472878	0,675654
11	1116	0,6418201	0,5179682	0,736079
12	1157	0,655079	0,5520329	0,777782
13	1211	0,671796	0,5962274	0,826506
14	1271	0,6894219	0,6438498	0,871959
15	1286	0,6936785	0,6554364	0,881894
16	1314	0,7014686	0,6766647	0,898956
17	1363	0,7146275	0,7124133	0,924368
18	1380	0,719056	0,7243589	0,93194
19	1455	0,7377875	0,7739415	0,958582
20	1465	0,7401888	0,7801463	0,961386
21	1572	0,7645461	0,8401567	0,982793
22	1603	0,7711664	0,8553154	0,986657
23	1649	0,7806485	0,8759656	0,991004
24	1687	0,7881846	0,8913922	0,993602
25	1844	0,8166723	0,9406086	0,998652

Графики апроксимирующих зависимостей:

—— - Оценка вероятности отказов Q(t)

—o— - Экспоненциальный закон распределения

—Δ— - Нормальный закон распределения

—□— - Нормальный усеченный закон распределения

Рисунок 1.3 – Графики аппроксимирующих зависимостей

Выбирается более подходящая зависимость (лучше описывающую результаты испытания) используя следующие критерии:

1) Величину общей суммы квадрата отклонения между значениями полученной оценки функции распределения и апроксимирующим выражением , где Q(t_i) – оценка вероятности отказа системы к моменту времени t_i, полученная из опытных данных;

F(t_i) – оценка вероятности отказа системы к моменту времени t_i, полученная из аппроксимирующей зависимости.

— Для экспоненциального закона распределения наработки системы до отказа S_эксп= = (0,105 – 0,04)² + … + (0,816 – 1)² = 0,5508

— Для нормального закона распределения наработки системы до отказа

S_норм = = (0,0045 – 0,04)² + … + (0,9986 – 1)² = 0,8812

— Для нормального усеченного закона распределения наработки системы до отказа S_{норм. ус.} = = (0,0107 – 0,04)² + … + (0,9406 – 1)² = 0,0822

Как видно, S_норм. > S_эксп. > S_{норм.ус.}, то есть самым неточным для описания результатов испытания является нормальный закон распределения наработки системы до отказа, а наиболее точным – нормальный усеченный закон.

2) Критерий Колмогорова.

Д эксп	Д норм.ус.	Д норм
0,065348	-0,029292	-0,03543
0,112199	-0,0534635	-0,06763
0,117688	-0,0811106	-0,09934
0,126548	-0,1033767	-0,12454
0,176222	-0,0934177	-0,1084
0,217127	-0,0592716	-0,03943
0,215648	-0,0504622	0,001214
0,228365	-0,0061427	0,105148
0,219638	0,01440989	0,165946
0,223576	0,07287801	0,275654
0,20182	0,07796822	0,296079
0,175079	0,07203287	0,297782
0,151796	0,07622744	0,306506
0,129422	0,08384982	0,311959
0,093678	0,05543644	0,281894
0,061469	0,03666469	0,258956
0,034628	0,03241329	0,244368
-0,00094	0,00435886	0,21194
-0,02221	0,01394148	0,198582
-0,05981	-0,0198537	0,161386
-0,07545	0,00015666	0,142793
-0,10883	-0,0246846	0,106657
-0,13935	-0,0440344	0,071004
-0,17182	-0,0686078	0,033602
-0,18333	-0,0593914	-0,00135

Д = max (abs( - ))

Д_эксп = max (abs( - )) = max (abs(0,5483646 – 0,32)) = 0,228365

Д_норм = max (abs( - )) = max (abs(0,871959 - 0,56))= 0,311959

Д_{норм.ус.} = max (abs( - )) = max(abs(0,0566233 – 0,16))= 0,10338

Как видно, аналогично сравнению по величине общей суммы квадрата отклонения, самым точным для аппроксимации результатов испытания является экспоненциальный закон распределения наработки системы до отказа и близкий к нему нормальный закон, а самым неточным – нормальный усеченный закон.