Электромагнитный контур

Второй закон Кирхгофа  . Падения напряжения: на активном сопротивлении (R):  , где I– сила тока в контуре; на конденсаторе (С):  , где q – величина заряда конденсатора; ЭДС индукции  .
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний в реальном колебательном контуре имеет вид:  . Обозначим  , и   , получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний в канонической форме:  .
Решение дифференциального уравнения или уравнение колебаний для заряда на обкладках конденсатора имеет вид:    или    . Амплитуда затухающих колебаний  заряда   . Частота затухающих колебаний:  . Период затухающих электромагнитных колебаний: .
Если уравнение для заряда в виде  , тогда Уравнение для напряжения на обкладках конденсатора можно записать   . Величина   – амплитуда  напряжения на конденсаторе. Уравнение для силы токав контуре имеет вид  , где   – начальная фаза колебаний тока в колебательном контуре (для получения формулы использовали соотношение  ) Напряжение на индуктивности  .
Энергия затухающих колебаний в контуре: электрическая  , магнитная  , полная энергия   в любой момент времени:   где W0 – полная энергия контура в момент времени t = 0.

Логарифмический декремент колебаний

 — безразмерная физическая величина, описывающая уменьшение амплитуды колебательного процесса и равная натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитудколеблющейся величины в одну и ту же сторону:

Логарифмический декремент колебаний равен декременту, умноженному на период колебаний:

Добротность

Добро́тность — свойство колебательной системы, определяющее полосу резонанса и показывающее, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за один период колебаний.

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания.

Общая формула для добротности любой колебательной системы:

,

где:

•  — резонансная частота колебаний

•  — энергия, запасённая в колебательной системе

•  — рассеиваемая мощность.

Например, в электрической резонансной цепи энергия рассеивается из-за конечного сопротивления цепи, в кварцевом кристалле затухание колебаний обусловлено внутренним трением в кристалле, в объемных электромагнитных резонаторах теряется в стенках резонатора, в его материале и в элементах связи, в оптических резонаторах — на зеркалах.

Для Колебательного контура в RLC цепях:

,

где  ,   и   — сопротивление, индуктивность и ёмкость резонансной цепи, соответственно.

http://www.tryphonov.ru/tryphonov3/terms3/aprtra.htm - АПЕРИОДИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС

6)  Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения

Пусть совершаются два гармонических колебания одного направления и одинаковой частоты

 (4.1)

Уравнение результирующего колебания будет иметь вид

Убедимся в этом, сложив уравнения системы (4.1)

Применив теорему косинусов суммы и сделав алгебраические преобразования:

(4.2)

Можно найти такие величины А и φ0 , чтобы удовлетворялись уравнения

(4.3)

Рассматривая (4.3) как два уравнения с двумя неизвестными А и φ0, найдем, возведя их в квадрат и сложив, а затем разделив второе на первое:

Подставляя (4.3) в (4.2), получим:

Или окончательно, используя теорему косинусов суммы, имеем:

Тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (φ2-φ1) сгладываемых колебаний.

В зависимости от разности фаз (φ2-φ1):

1) (φ2-φ1) = ±2mπ (m=0, 1, 2, …), тогда A= А1+А2, т. е. амплитуда результирующего колебания А равна сумме амплитуд складываемых колебаний;

2) (φ2-φ1) = ±(2m+1)π (m=0, 1, 2, …), тогда A= |А1-А2|, т. е. амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний

Биение

Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биением.

Пусть два колебания мало отличаются по частоте. Тогда амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны ω и ω+Δω, причем Δω намного меньше ω. Начало отсчета выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:

Решим систему

Решение системы:

Результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое с частотой ω, амплитуда А, которого изменяется по следующему периодическому закону:

Частота изменения А в два раза больше частоты изменения косинуса. Частота биений равна разности частот складываемых колебаний: ωб = Δω

Период биений:

7)