21. Вписанная окружность

Определение:

Окружность называется вписанной в многоугольник, если каждая сторона этого многоугольника касается окружности (многоугольник называется описанным около окружности)

Свойство:

В любой треугольник можно вписать окружность, при том только одну, а центр этой окружности – точка пересечения биссектрис треугольника

Построение:

• проводим две биссектрисы

• O – точка их пересечения

• проводим перпендикуляр к любой стороне через точку O

• H – точка пересечения перпендикуляра со стороной к которой его провели

• чертим окружность с радиусом OH

Описанный четырехугольник:

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность

Свойство:

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны

Признак:

Если четырехугольник выпуклый и суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность

22. Описанная окружность

Определение:

Окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины этого многоугольника лежат на окружности (многоугольник называется вписанным в окружность)

Свойство:

Около любого треугольника можно описать окружность, при том только одну, а центр этой окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров

Построение:

• проводим два серединных перпендикуляра

• проводим отрезок, соединяющий точку пересечения этих перпендикуляров и любую вершину данного треугольника

• проводим окружность с радиусом равным полученному отрезку

Вписанный четырехугольник:

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность

Свойство:

Во вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов 180 градусов

Признак:

Если четырехугольник выпуклый и сумма противоположных углов 180 градусов, то около него можно описать окружность